Slags variation

En sorts slægt er en homomorfi af kobordismeringen af lukkede sorter i en eller anden ring , normalt ringen af rationelle tal .

Definition

Slægten φ vælger et element φ( X ) fra en eller anden ring K for hver sort X , således at

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (hvor ∪ er en usammenhængende forening )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0 hvis X er kobordant til nul.

I dette tilfælde kan de pågældende manifolder udstyres med en yderligere struktur, for eksempel en orientering eller en spinorstruktur.

Ringen K er normalt feltet af rationelle tal, men ringen af modulære former betragtes også . $\mathbb{Z } _{2}$

Betingelserne på φ kan omformuleres ved at sige, at φ er en homomorfi af kobordismeringen af manifolder (under hensyntagen til strukturen) til en anden ring.

Slægt af formelle magtserier

En sekvens af polynomier K 1 , K 2 ,... variable p 1 , p 2 ... multiplikativ hvis

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )

skulle gerne

\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Hvis Q(z) er en formel potensrække i z med skæringspunkt 1, kan vi definere multiplikative sekvenser

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2 })+\ldots

hvordan

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,

hvor p k er den k -te elementære symmetriske funktion med ukendte . $z_{i}$

Slægten φ af orienterede manifolds svarende til potensrækken Q er defineret som

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

hvor p k er den k - te Pontryagin- klasse af X. I dette tilfælde kaldes potensrækken Q den karakteristiske række af slægten φ.

Eksempler

L-slægt og signatur

L-slægten bestemmes af den karakteristiske serie

{{\sqrt {z}} \over \operatørnavn {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots

hvor er Bernoulli-tallene . De første par værdier: $B_{{2k}}$

$L_{0}=1$
$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Hvis M er en lukket glat orienteret manifold med dimension 4n med Pontryagin-klasser , så er værdien af L-slægten på den grundlæggende klasse lig med signaturen , dvs. $p_{i}=p_{i}(M)$ $[M]$ $\sigma (M)$

\sigma (M)=L_{n}([M])

Det faktum, at L 2 altid er heltal for glatte manifolds, blev brugt af John Milnor til at bevise eksistensen af en stykkevis lineær 8-dimensionel manifold uden en glat struktur.

Â-slægt

Â-slægten bestemmes af den karakteristiske række

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatørnavn {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\ldots .

De første par værdier

${\hat {A}}_{0}=1$
${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Egenskaber

Â-slægten af en spinormanifold er et heltal,
- Â-slægten for en spinormanifold af dimension er et lige heltal. $4{\pmod {8}}$
Â-slægten for en spinor-manifold er lig med indekset for Dirac-operatoren .
Hvis en kompakt spinor-manifold indrømmer en metrik for positiv skalarkrumning , så er dens Â-slægt nul.

Se også

Atiyah-Singer indekssætning

Noter

↑ McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials" Arkiveret 5. marts 2016 på Wayback Machine .
↑ OEIS -sekvens A237111 . _