Riemann-manifold

Et Riemann-manifold eller Riemann-rum ( M , g ), er en ( rigtig ) glat manifold M , hvor hvert tangentrum er udstyret med et indre produkt g , en metrisk tensor , der skifter jævnt fra punkt til punkt. Med andre ord er en Riemann-manifold en differentierbar manifold, hvor tangentrummet ved hvert punkt er et finit -dimensionelt euklidisk rum .

Dette gør det muligt at definere forskellige geometriske begreber på Riemann-manifolder, såsom vinkler , kurvelængder, arealer ( eller volumener ) , krumning , funktionsgradient og vektorfeltdivergenser .

Den riemannske metriske g er en positiv-definitiv symmetrisk tensor - den metriske tensor ; mere præcist er det et glat kovariant symmetrisk positivt bestemt tensorvalensfelt (0,2).

Forveksle ikke Riemann-manifolder med Riemann-overflademanifolder , der lokalt ligner limning af komplekse planer .

Udtrykket er opkaldt efter den tyske matematiker Bernhard Riemann .

Oversigt

Tangentbundtet af en glat manifold M tildeler hvert punkt i M et vektorrum kaldet tangentrummet , og på dette tangentrum kan man introducere et indre produkt. Hvis et sådant sæt af indførte skalarprodukter på tangentbundtet af en manifold ændrer sig jævnt fra punkt til punkt, så kan man ved hjælp af sådanne produkter indføre metricitet på hele manifolden. For eksempel har en glat kurve α( t ): [0, 1] → M en tangentvektor α′( t 0 ) i tangentrummet TM ( t 0 ) i ethvert punkt t 0 ∈ (0, 1), og hver sådan vektor har længden ‖α′( t 0 )‖, hvor ‖·‖ angiver normen induceret af det indre produkt på TM ( t 0 ). Integralet over disse længder giver længden af hele kurven α:

L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.

Jævnheden af α( t ) for t i [0, 1] garanterer, at integralet L (α) eksisterer, og kurvens længde er defineret.

I mange tilfælde, for at gå fra et lineært-algebraisk koncept til et differentialgeometrisk, er glathed meget vigtig.

Hver glat undermanifold af Rn har en induceret metrisk g : det indre produkt på hvert tangentrum er kun det indre produkt på Rn . Det omvendte gælder også: Nash regulære indlejringsteoremet siger, at enhver tilstrækkelig glat Riemannmanifold kan realiseres som en submanifold med en induceret metrisk i R n af tilstrækkelig stor dimension n .

Måling af længder og vinkler ved hjælp af metrikken

På en Riemannmanifold er længden af et kurvesegment defineret parametrisk (som en vektorfunktion af parameteren , varierende fra til ): $x(t)$ $t$ $-en$ $b$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt))}\,dt =\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.

Vinklen mellem to vektorer, og (i buet rum eksisterer vektorer i tangentrum i et punkt på manifolden), er givet ved: $\theta \$ $U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\$ $V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\$

\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right |\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.

Generaliseringer

Litteratur

B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko . moderne geometri. - Enhver udgave.
SOM. Mishchenko, A.T. Fomenko . Kursus i differentialgeometri og topologi. - Enhver udgave.
V. A. Sharafutdinov. Forelæsninger. Kapitel 5: Riemannske manifolder