Udvidet tallinje

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. oktober 2021; checks kræver 4 redigeringer .

En udvidet ( affint udvidet ) tallinje er et sæt af reelle tal , suppleret med to punkter ved uendelig : (positiv uendelig) og (negativ uendelighed), det vil sige . Det skal forstås, at de ikke er tal og har en lidt anderledes karakter, men for dem, såvel som for reelle tal, er ordensrelationen også defineret . Også selve elementerne betragtes som ulige i forhold til hinanden. [en] $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]$ $-\infty ,+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

I dette tilfælde antages ulighederne pr. definition for ethvert reelt tal at være opfyldt . I nogle didaktiske materialer bruges udtrykket "udvidet tallinje" i forhold til en tallinje forlænget med et punkt ved uendelig , ikke relateret til reelle tal med en ordensrelation, derfor er en linje med en uendelighed nogle gange for tydelighedens skyld. kaldet projektivt forlænget , og med to - affint forlænget . [2] $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

Plustegnet for et element er ofte ikke udeladt som ved andre positive tal for at undgå forveksling med uendeligheden uden fortegn på den projektivt forlængede tallinje. Men nogle gange er tegnet stadig udeladt, og i sådanne tilfælde betegnes den projektive uendelighed normalt som . $+\infty$ $\pm\infty$

Bestil

Sættet af reelle tal er lineært ordnet i forhold til . Der er dog ingen maksimum- og minimumselementer . Hvis vi betragter et system af reelle tal som en lineært ordnet mængde, så består dets udvidelse til systemet blot i at tilføje maksimum ( ) og minimum ( ) elementer. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $\mathbb {R}$ $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $-\infty$

På grund af dette har ethvert ikke-tomt sæt i systemet en nøjagtig øvre grænse (finite, hvis sættet er afgrænset over , og hvis ikke afgrænset ovenfor ). Et lignende udsagn gælder også for den mindste nedre grænse . Dette forklarer bekvemmeligheden ved at introducere elementerne og . [3] [4] $\overline{\mathbb{R))$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Der er 3 typer intervaller i den udvidede tallinje : interval, halvinterval og segment.

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

- interval

{\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \))

, - halvt interval

{\displaystyle [\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \))

{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \))

- linjestykke

Da uendelighederne her er de samme lige store elementer som tallene, skelnes endelige og uendelige intervaller ikke som separate typer af intervaller. [5]

Topologi

Ordrerelationen genererer en topologi på . I topologi er åbne huller huller af formen: $<$ $\tau$ $\overline{\mathbb{R))$ $\tau$

{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \))

{\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \))

[-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \}

[-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}

hvor . Åbne sæt er på den anden side defineret som alle mulige foreninger af åbne intervaller. $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} ))$

Omgivelser

Et kvarter til et punkt er ethvert åbent sæt, der indeholder dette punkt. Og, som det følger af definitionen af topologi åbne sæt , inkluderer hvert naboskab af et punkt et af de åbne huller, der indeholder . $U(a)$ $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ $\tau$ $-en$ $-en$

I kurserne for matematisk analyse introduceres normalt et mere bestemt begreb - naboskabet til et punkt på den udvidede reelle linje ( ). $\varepsilon$ $U_{{\varepsilon }}(a)$ $\varepsilon >0$

I tilfældet , det vil sige hvornår er et tal, kaldes -naboskab et sæt: $a\in {\mathbb {R}}$ $-en$ $\varepsilon$ $-en$

U_{{\varepsilon }}(a){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).

Hvis , så: $a=+\infty$

U_{{\varepsilon }}(+\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}),+\infty \right] ,

og hvis , så: $a=-\infty$

U_{{\varepsilon }}(-\infty ){\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\venstre[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right) .

Begrebet -kvarterer for uendelige tal er defineret på en sådan måde, at i alle tilfælde - hvornår er et reelt tal, eller en af uendelighederne - når tallet falder, falder de tilsvarende kvarterer: . [6] $\varepsilon$ $-en$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{{\varepsilon _{1}}}(a)\subset U_{{\varepsilon _{2}}}(a)$

Punkterede kvarterer og -kvarterer defineres henholdsvis som kvarterer og -kvarterer, hvorfra selve punktet er fjernet. $\varepsilon$ $\varepsilon$

Grænser

I mange matematiske analysekurser er grænserne for tendens til plus eller minus uendelighed ofte defineret separat. Også lighederne mellem grænserne plus og minus uendelighed er ofte defineret separat. Alle disse situationer passer ind i en enkelt definition af grænsen (som svarer til den generelle topologiske definition af grænsen ). ${\overline {\mathbb {R} }}$

Lad , hvor . Især kan være en reel funktion af en reel variabel. Lad . Derefter: $f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ $X\subset {\overline {\mathbb {R} }}$ $f$ $x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}$

\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)=a{\overset {{\mathrm {def}}}{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\eksisterer \delta > 0\;\forall x\in X\;(x\in U_{{\delta }}(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{{\varepsilon }}(a))

Samtidig er tendensen til uendelighed på begge sider og ligheden af grænsen for usigneret uendelighed ikke omfattet af denne definition. Disse tilfælde kan også være omfattet af den generelle topologiske definition af grænsen, men i en anden struktur, nemlig i en projektivt forlænget reel linje.

På trods af at affint og projektivt forlængede tallinjer har forskellige strukturer, er grænserne i dem indbyrdes forbundne. Hvis grænsen i er lig med en af uendelighederne, så er den også lig med uendelighed. Tværtimod virker det ikke: Hvis grænsen i er lig med uendelighed, betyder det ikke, at den i den vil være lig med en af uendelighederne. Et eksempel på dette er stadig det samme i lig med uendelig, men i det findes ikke. Forbindelsen mellem de to strukturer kan dog stadig formuleres som et udsagn i begge retninger: grænsen i er lig med uendelighed er lig med uendelighed, hvis og kun hvis den i den enten er lig med en af uendelighederne eller ikke eksisterer, men sættet af dets partielle grænser består kun af uendelighed. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Kompakthed

${\overline {\mathbb {R} }}$ er et kompakt Hausdorff -rum. Rummet af reelle tal er komplet , men ikke kompakt. Således kan det udvidede system af reelle tal ses som en to-punkts komprimering . [2] I dette tilfælde viser det sig at være homeoform til segmentet . Dette faktum har en klar geometrisk illustration. Analytisk homeoformisme er givet ved formlen: $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ $[0,1]$ $f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatørnavn {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0< x<1\\+\infty &x=1\end{cases}}

Bolzano - Weierstrass-sætningen gælder for enhver sekvens, ikke kun en begrænset. Det betyder, at enhver sekvens i har en undersekvens, der konvergerer til . Således sekventielt kompakt. ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}$

Operationer

For reelle tal og elementer er følgende handlinger defineret: $\pm\infty$

${\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=+\infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \ cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty ))&=0,&a&\i \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a))&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \ infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0& <a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a} &=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\operatørnavn {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned}}$

Betydningen af udtrykkene , , , er ikke defineret. [2] $(+\infty )-(+\infty ),0\gange (\pm \infty ),{\frac {0}{0))$ ${\displaystyle 1^{\pm \infty ))$ $(\pm \infty )^{0}$ $0^{0}$

I modsætning til hvad folk tror, er betydningen af udtrykket , hvor , også udefineret. Udvidelse af dette udtryk til en af uendelighederne vil bryde kontinuiteten i divisionsoperationen. Dette kan illustreres med eksemplet med funktionen . Dens grænse ved nul til venstre er , og til højre , hvilket betyder, at der ikke er nogen tosidet grænse på dette tidspunkt. På grund af dette, uanset hvordan vi udvider definitionen af funktionen til nul, vil den forblive diskontinuerlig. ${\frac {a}{0}}$ $en \neq 0$ ${\frac {1}{x))$ $-\infty$ $+\infty$

Notationen stødte ofte på eller refererer til en fundamentalt anderledes struktur - en projektivt forlænget tallinje, hvor uendelighed er et helt andet objekt. ${\frac {a}{0}}=\infty$ ${\frac {a}{0}}=\pm \infty$

Algebraiske egenskaber

Følgende ligheder betyder: begge dele er enten begge lige, eller begge giver ikke mening

$a+b=b+a$
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$a\cdot b=b\cdot a$
$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Følgende ligheder er sande, hvis deres højre side er defineret.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Følgende egenskaber er sande, hvis begge sider af den rigtige ulighed giver mening

hvis , så $a\leq b$ $a+c\leq b+c;$
hvis , så $a\leq b,~c>0$ $a\cdot c\leq b\cdot c.$

Se også

Projektivt forlænget tallinje

Noter

↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 64.
↑ 123 Wolfram . _ _
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 75.
↑ Rudin, 2004 , s. 24.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 65.
↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 66.

Litteratur

Kudryavtsev, L. D. Kursus i matematisk analyse. - 5. udg. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Cantrell DW Affinely Extended Real Numbers . Wolfram Math World . Weisstein EW. Dato for adgang: 9. januar 2022.
Rudin U. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principles of Mathematical Analysis. - 3. udg. - M. : Lan, 2004. - 320 s. — ISBN 5-8114-0443-3 .