Hopf bundt

Hopf-fibreringen er et eksempel på en lokalt triviel fibrering af en tredimensionel kugle over en todimensionel med en lag-cirkel:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\p\,}}S^{2}

Hopf-bundtet er ikke trivielt. Det er også et vigtigt eksempel på et hovedbundt .

En af de enkleste måder at definere dette bundt på er at repræsentere 3-sfæren som enhedssfæren i , og 2-sfæren som den komplekse projektive linje . Så displayet: $S^{3}$ $\mathbb {C} ^{2}$ $S^{2}$ $\mathbb {C} P^{1}$

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

og definerer Hopf-bundtet. I dette tilfælde vil fibrene i bundtet være banerne for gruppens frie handling : $S^{1}$

\theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})

hvor cirklen er repræsenteret som et sæt af enhedsmodulo komplekse tal:

{\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\))

Generaliseringer

Ganske på samme måde er en ulige dimensionel kugle lagdelt med en lag-cirkel over . Nogle gange kaldes dette bundt også for Hopf-bundtet. $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} P^{n}$

Også (udover " kompleks ") er der ægte , quaternion og oktavversioner af sådanne familier af bundter. De starter med:

{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1))

(ægte),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(kompleks - korrekt Hopf-fibrering),

{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4))

(kvarternion),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(oktav).

Sådanne bundter af kuglen , for hvilke både laget, bunden og det samlede rum er kugler, er kun mulige i tilfældene . Eksklusiviteten af disse tilfælde skyldes det faktum, at multiplikation uden nul divisorer kun kan defineres for . $S^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\))$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\))$

Se også

Riemann-sfæren er en kompleks projektiv linje, basismanifolden i Hopf-bundtet
Enhedsgruppen U(1) er strukturgruppen i Hopf-bundtet
Tredimensionel kugle - Hopf-fibreringens samlede rum
Poincaré -sfæren og Bloch-sfæren — Hopf-bundtet i fysik beskriver polariseringen af en tværgående bølge, tilstanden af et to-niveau kvantesystem, den relativistiske forvrængning af himmelsfæren, og så videre [1] [2]
Milnors sfære

Noter

↑ R. Penrose, W. Rindler. Spinorer og rum-tid, spinor og twistor metoder i rum-tid geometri . - Moskva "Mir", 1988. - S. 78. (Russisk) Arkiveret kopi (utilgængeligt link) . Dato for adgang: 1. februar 2012. Arkiveret fra originalen 3. oktober 2015. (ubestemt)
↑ D.N. Klyshko. Bær geometrisk fase i oscillerende processer // Uspekhi fizicheskikh nauk : zhurnal. - Det russiske videnskabsakademi , 1993. - T. 163 , nr. 11 . - S. 1 . (Russisk)

Hopf bundt

Generaliseringer

Se også

Noter

Links