Indstil forskel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. marts 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Forskellen på to mængder er en mængdeteoretisk operation, hvis resultat er et sæt, der inkluderer alle elementer i det første sæt, som ikke er inkluderet i det andet sæt. Normalt er forskellen mellem sætene og betegnet som , men nogle gange kan du se notationen og . $EN$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A\sim B$

Lad og være to sæt specificeret i definitionen, så er deres forskel defineret (i det mængdeteoretiske sprog): $EN$ $B$

A\setminus B=\{x\i A\midt x\ikke \i B\}.

Dette sæt kaldes ofte komplementet af et sæt til et sæt . (kun når sæt B hører helt til sæt A) $B$ $EN$

Det antages normalt, at delmængder af det samme sæt betragtes, som i dette tilfælde kaldes universet , f.eks . Så kan vi sammen med hvert sæt overveje dets relative komplement , som ofte betegnes ved at udelade universets ikon: $x$ $A\delmængde X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; samtidig siges det, at det (simpelthen) er komplementet til et sæt (uden at specificere, hvad det givne sæt er komplement til). $\setminus A$

I lyset af denne bemærkning viser det sig, at det vil sige, at komplementet af et sæt til et sæt er skæringspunktet mellem sættet og komplementet af sættet . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $EN$ $EN$ $B$

Operatornotationen af formen , eller (hvis det universelle sæt er udeladt) , , bruges også . $A^{\supplement }$ $\complement _{X}A$ $\ komplement A$ $\overline A$ $EN'$

Den indstillede forskelsoperation er ikke per definition symmetrisk med hensyn til de mængder, der er inkluderet i den. En symmetrisk version af den mængdeteoretiske forskel af to sæt er beskrevet ved begrebet en symmetrisk forskel .

Eksempler

Lad . Derefter $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Lad være mængden af alle reelle tal , være mængden af rationelle tal , og være mængden af heltal . Derefter - sættet af alle irrationelle tal og - brøktal . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Egenskaber

Lad være vilkårlige sæt. $A,\;B,\;C,\;D$

At trække et sæt fra sig selv resulterer i det tomme sæt :

A\setminus A=\varnothing .

Egenskaber for det tomme sæt med hensyn til forskellen:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Forskellen på to sæt er indeholdt i minuenden:

A\setminus B\undersæt A.

$A\kop (B\setminus A)=A\kop B$ . Det følger af denne formel, at differensoperationen ikke er den omvendte af sumoperationen (det vil sige forening).
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
Forskellen skærer ikke med subtrahenden:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

Sætforskellen er lig med den tomme mængde, hvis og kun hvis minuenden er indeholdt i subtrahenden:

A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.

De Morgans love i mængdealgebra er formuleret som følger:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\kop (A\setminus C);

A\setminus (B\kop C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\kop B)\setminus C=(A\setminus C)\kop (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\kop (A\cap C);$
$A\setminus (B\kop C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\kop C=(B\kop C)\setminus A$ hvis . $C\cap A=\varnothing$
Hvis og så $A\delmængde B$ $C\undersæt D$ $(A\setminus D)\subset (B\setminus C);$
Hvis , så for evt . Denne relation har sin analog i aritmetik : hvis , så for enhver . $A\delmængde B$ $C$ $(C\setminus B)\undersæt (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $c$ $(cb)\leqslant (ca)$

Computerimplementeringer

I Mathematica -pakken implementeres operationen ved hjælp af funktionen Complement . I MATLAB -pakken er den også implementeret ved hjælp af funktionen setdiff.

I Pascal -programmeringssproget (såvel som i dets objektudvidelse Object Pascal ) er den indstillede differensoperation repræsenteret af "−"-operatoren, hvor begge operander og resultatet er værdier af typen set.

I programmeringssproget Python implementeres operationen ved hjælp af diff-metoden på et objekt af typen sæt.

Sæt komplement

Definition

Hvis det følger af konteksten, at alle de betragtede sæt er delmængder af et eller andet fast univers , så defineres additionsoperationen: $x$

A^{\komplement }=X\setminus A\equiv \{x\i X\midt x\ikke \i A\}.

Egenskaber

Komplementoperationen er en unær boolesk operation . $2^{X}$
Supplerende love: [1]

$A\kop A^{\komplement }=X;$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$

Især hvis både og er ikke- tomme , så er en partition .

EN

A^{\supplement }

\{A,\;A^{\komplement }\}

x

$X^{\komplement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\komplement }=X;$
$(A\delmængde B)\venstrehøjrepil (B^{\komplement }\delmængde A^{\komplement }).$

Komplementoperationen er en involution :

(A^{\complement })^{\complement }=A.

De Morgans love :

$(A\kop B)^{\komplement }=A^{\komplement}\cap B^{\komplement };$
$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Indstil forskelslove:

$A\setminus B=A\cap B^{\komplement };$
$(A\setminus B)^{\komplement }=A^{\komplement }\kop B.$

Kodning

grafem	Navn	Unicode	HTML	LaTeX
∁	KOMPLEMENT	U+2201	∁	\complement

Se også

Operationer på sæt

Litteratur

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problemer i mængdeteori, matematisk logik og teori om algoritmer. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 s.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Mængdeteori /Pr. fra engelsk. M. I. Kort, red. A. D. Taimanova. -M.: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Noter

↑ Ilyin V.A. , Sadovnichiy V.A. , Sendov Bl. H. . Kapitel 2. Reelle tal // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Afledninger af det latinske bogstav C, ca
Breve	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ č̣̓ Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ c̑ ç̑ C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ c̟ ʨ
Symboler	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞