Ideel radikal

I kommutativ algebra er radikalet af et ideal I idealet dannet af alle elementer x , således at en eller anden potens af x tilhører I. Et radikalt ideal er et ideal, der falder sammen med dets eget radikal.

Definition

Radikalen af et ideal I i en kommutativ ring R , betegnet med , er defineret som ${\sqrt {I}}$

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Intuitivt, for at opnå det radikale i et ideal, må man tage rødderne af alle mulige grader fra dets elementer. En ækvivalent definition af radikalet i idealet I er det omvendte billede af nulradikalet under faktoriseringskortet. Dette viser sig også at være et ideal. $R/I$ ${\sqrt {I}}$

Eksempler

I ringen af heltal er radikalet i hovedidealet idealet , der genereres af produktet af alle prime divisorer . $(en)$ $-en$
Det radikale ved et primært ideal er simpelt . Hvis radikalet i et ideal er maksimalt , så er dette ideal primært (hvis radikalet er simpelt, så er idealet ikke nødvendigvis primært).
I enhver kommutativ ring for et primært ideal [1] . Især er ethvert primært ideal radikalt. ${\sqrt {P^{n}}}=P$ $P$

Egenskaber

${\sqrt {{\sqrt {I}}}}={\sqrt {I}}$ . Desuden er det mindste radikale ideal indeholdende I. ${\sqrt {I}}$
${\sqrt {I}}$ er skæringspunktet mellem alle primære idealer, der indeholder I. Især nul-radikalen er skæringspunktet mellem alle primære idealer.
Et ideal er radikalt, hvis og kun hvis kvotientringen ved det ikke indeholder ikke-trivielle nilpotenter .

Ansøgninger

Hovedmotivationen for at studere radikaler er deres optræden i Hilberts berømte nulsætning fra kommutativ algebra . Den enkleste formulering af denne sætning er som følger: For ethvert algebraisk lukket felt og ethvert endeligt genereret ideal i polynomialringen i variabler over feltet er følgende lighed sand: $k$ $n$ $k$

\operatørnavn {I}(\operatørnavn {V}(J))={\sqrt J},

hvor

\operatørnavn {V}(J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

\operatørnavn {I}(S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\ }.

Noter

↑ Atiyah og McDonald, 2003 , forslag 4.2.

Litteratur

Atiyah M. , McDonald I. . Introduktion til kommutativ algebra. - M . : Facttorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David. . Kommutativ algebra med udsigt til algebraisk geometri. - Springer-Verlag, 1995. - (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .