Endeligt genereret ideal

Et endeligt genereret ideal for en associativ ring er et ideal , der genereres af et endeligt antal af dens elementer. $jeg$ $R$

I det tilfælde, hvornår er en ring med en enhed, betyder endelig generering for et ensidigt (f.eks. højre) ideal for ringen , at der er et begrænset sæt af elementer, således at ethvert element fra kan repræsenteres som en sum , hvor er nogle elementer i ringen. Denne definition svarer fuldt ud til definitionen af et endeligt genereret modul over en ring, hvis vi betragter det rigtige ideal som et højre modul over ringen . Følgelig vil et tosidet ideal blive endeligt genereret, hvis der er et endeligt sæt af elementer, således at ethvert element fra kan repræsenteres som en sum , hvor er nogle elementer i ringen . $R$ $jeg$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jeg$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $jeg$ $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jeg$ ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$ $R$

I det generelle tilfælde, når ringen ikke nødvendigvis indeholder en enhed, genereres et ret ideal endeligt, hvis der er et endeligt sæt af elementer, således at ethvert element fra kan repræsenteres som en sum , hvor er nogle elementer i ringen, . Et tosidet ideal kaldes endeligt genereret, hvis der er et begrænset sæt af elementer, således at ethvert element fra kan repræsenteres som en sum , hvor er nogle elementer i ringen , . $R$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jeg$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$ $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ $jeg$ $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{ n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$ $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots,b_{n},c_{1},\ldots,c_{n},d_{1},\ldots, d_{n}\in R$ $R$ $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$

Se også

Ideel