Projektivt objekt

Et projektivt objekt er en kategoriteoretisk generalisering af begrebet et projektivt modul .

Projektive objekter i Abelske kategorier er meget brugt i homologisk algebra . De dobbelte objekter til projektive er injektionsobjekter .

Definition

Et objekt i en kategori kaldes projektivt, hvis der for en vilkårlig epimorfi og morfisme eksisterer en morfisme , for hvilket , det vil sige et diagram: $P$ ${\mathcal {C}}$ $e\colon E\twoheadrightarrow X$ $f\colon P\to X$ ${\overline {f}}:P\to E$ $e\circ {\overline {f}}=f$

er kommutativ .

Egenskaber

I en lokalt lille kategori er et objekt kun projektivt, hvis funktiontoren ${\mathcal {C}}$ $P$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

bevarer epimorfismer . [en]

Lad være en lokalt lille abelsk kategori . I dette tilfælde er et objekt et projektivt objekt if ${\mathcal {C}}$ $P\in {\mathcal {C}}$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

er en nøjagtig funktor , hvor er kategorien af abelske grupper .

{\mathbf {Ab))

Biproduktet af to projektive objekter er et projektivt objekt. [2]
En tilbagetrækning af et projektivt objekt er projektivt. [3]

Eksempler

Påstanden om, at alle mængder er projektive objekter, svarer til valgaksiomet .

Projektive objekter i kategorien Abelske grupper er frie Abelske grupper.

Lad være en ring med enhed. Overvej den (Abelske) kategori af venstre -moduler. Projektive objekter i er projektive venstre R-moduler . Især er det et projektivt objekt i $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}.$

Noter

↑ Mac Lane, Saunders. Kategorier for arbejdende matematiker (neopr.) . - Sekund. - New York, NY: Springer New York, 1978. - S. 114. - ISBN 1441931236 .
↑ Awodey, Steve. Kategori teori (engelsk) . — 2. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - S. 72. - ISBN 9780199237180 .
↑ Awodey, Steve. Kategori teori (engelsk) . — 2. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - S. 33. - ISBN 9780199237180 .