Semi-simpelt modul
Semisimple moduler ( helt reducerbare moduler ) er generelle algebraiske moduler , der let kan gendannes fra deres dele. En ring , der er et semisimpelt modul over sig selv, kaldes en Artinian semisimple ring . Et vigtigt eksempel på en semisimple ring er grupperingen af en endelig gruppe over et felt med karakteristisk nul. Strukturen af halvsimple ringe er beskrevet af Wedderburn-Artin-sætningen : alle sådanne ringe er direkte produkter af matrixringe .
Definition
Der er givet tre ækvivalente [1] definitioner af et semisimple (fuldstændig reducerbart) modul: et modul M er semisimple hvis
- M er isomorf til en direkte sum af simple moduler (også kaldet irreducible).
- M kan dekomponeres i en direkte sum af simple undermoduler af M .
- For hvert N undermodul M er der et komplement P , således at M = N ⊕ P .
Fuldstændig reducerbarhed er en stærkere betingelse end fuldstændigt nedbrydeligt: et fuldstændigt nedbrydeligt modul er et modul, der nedbrydes til en direkte sum af uopløseligt . For eksempel er ringen af heltal fuldstændigt nedbrydelig (dette følger af dens uopløselighed), men den er ikke fuldstændig reducerbar, da den har undermoduler (for eksempel sættet af lige tal).
Egenskaber
- Hvis M er semisimple, og N er dets undermodul , så er N og M / N også semisimple.
- Hvis alle er semisimple moduler, så er den direkte sum også semisimple.
- Modulet M er endeligt genereret og semisimpelt, hvis og kun hvis det er artinsk og dets radikal er nul.
Halvsimple ringe
En ring siges at være semisimple (venstre), hvis den er semisimple som et (venstre) modul over sig selv. Det viser sig, at venstre semisimple ringe er højre semisimple og omvendt, så vi kan tale om semisimple ringe.
Halvsimple ringe kan karakteriseres i form af homologisk algebra : en ring R er semisimple, hvis og kun hvis hver kort nøjagtig sekvens af (venstre) R - moduler splittes . Især et modul over en semisimpel ring er injektiv og projektiv .
Halvsimple ringe er både artiniske og noetherske . Hvis der er en homomorfi fra et felt til en semisimple ring, kaldes det en semisimple algebra .
Eksempler
- En kommutativ semisimple ring er isomorf til et direkte produkt af felter.
- Hvis k er et felt, og G er en endelig gruppe af orden n , så er grupperingen k [ G ] semisimpel, hvis og kun hvis karakteristikken for feltet ikke deler n . Dette resultat er kendt som Maschkes sætning og er vigtigt i grupperepræsentationsteorien .
Wedderburn-Artin-sætningen
Wedderburn-Artin-sætningen siger, at enhver semisimple ring er isomorf i forhold til det direkte produkt af matrixringe n i ved n i med elementer i kroppen D i , og tallene n i er entydigt definerede, og legemerne er unikke op til isomorfi. Især en simpel ring er isomorf til en matrixring over en divisionsring.
Wedderburns oprindelige resultat var, at en simpel ring, som er en finitdimensional simpel algebra over en divisionsring, er isomorf til en matrixring. Emil Artin generaliserede teoremet til tilfældet med semisimple (kunstneriske) ringe.
Eksempler på tilfælde, hvor Wedderburn-Artin-sætningen kan anvendes: enhver finitdimensional simpel algebra over R er en matrixring over R , C eller H ( quaternions ), enhver finitdimensional simpel algebra over C er en matrixring over C .
Noter
- ↑ Nathan Jacobson, Basic Algebra II (anden udgave), s.120
Litteratur
- Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2. udgave), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2. udg.), Berlin, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0
- RS Pierce. Associative algebraer . Graduate Texts in Mathematics bind 88.