Revolutionens overflade
En omdrejningsflade er en overflade dannet under rotation omkring en ret linje (overfladeakse) af en vilkårlig linje ( ret , flad eller rumlig kurve ). For eksempel, hvis en lige linje skærer rotationsaksen, vil der under dens rotation blive opnået en konisk overflade, hvis den er parallel med aksen - cylindrisk , hvis den skærer med aksen - en hyperboloid . Den samme overflade kan opnås ved at rotere en lang række kurver.
Det er et studieobjekt i matematisk analyse , analytisk , differentiel og beskrivende geometri.
Eksempler
- Cirkulær cylindrisk overflade (opnået ved at rotere en lige linje omkring en lige linje parallel med den).
- Kegle (opnået ved at rotere en lige linje omkring en anden lige linje, der skærer den første).
- Kugle (opnået ved at rotere en cirkel omkring en akse, der ligger i samme plan og passerer gennem dens centrum).
- Torus (opnået ved at dreje en cirkel omkring en akse, der ikke skærer den og ligger i samme plan).
- En omdrejningsellipsoide er en ellipsoide , hvis to halvakser har samme længde (opnået ved at dreje en ellipse om en af dens akser).
- En omdrejningsparaboloid er en elliptisk paraboloid opnået ved at rotere en parabel rundt om sin akse.
- Catenoid (opnået ved at dreje en køreledning ).
Område
Arealet af omdrejningsfladen dannet ved drejning af en plan kurve af endelig længde omkring en akse, der ligger i kurvens plan, men ikke skærer kurven, er lig med produktet af kurvens længde og længden af en cirkel med en radius svarende til afstanden fra aksen til kurvens massecentrum . Dette udsagn kaldes den anden Papp-Guldin- sætning eller Pappus tyngdepunktssætning.
For en torus med radier er overfladearealet f.eks
.
Arealet af omdrejningsfladen dannet ved rotation af en kurve om en akse kan beregnes ved formlen
Arealet af omdrejningsfladen dannet ved rotation af en kurve om en akse kan beregnes ved formlen
For det tilfælde, hvor kurven er givet i det polære koordinatsystem, er formlen gyldig
Bind
Volumenet afgrænset af omdrejningsfladen dannet af rotationen af en flad lukket, ikke-selvskærende kurve omkring en akse, der ligger i kurvens plan, men ikke skærer kurven, er lig med produktet af arealet af den flade figur afgrænset af kurven og omkredsen af en cirkel med en radius svarende til afstanden fra aksen til den flade figurs tyngdepunkt.
Rumfanget af omdrejningsfladen dannet ved drejning af en kurve omkring en akse kan beregnes med formlen
