Parametriseret post-newtonsk formalisme

Parametriseret post-newtonsk formalisme ( PPN-formalisme ) er en version af post-newtonsk formalisme , der ikke kun gælder for generel relativitet , men også på andre metriske teorier om tyngdekraft , når kroppens bevægelser opfylder Einsteins ækvivalensprincip . I denne tilgang er alle mulige afhængigheder af tyngdekraftsfeltet af stoffets fordeling eksplicit skrevet op til den tilsvarende rækkefølge af det omvendte kvadrat af lysets hastighed (mere præcist tyngdehastigheden, mens det normalt er begrænset til den første orden ) og det mest generelle udtryk er kompileret til løsning af ligningerne for gravitationsfeltet og stoffets bevægelse. Samtidig forudsiger forskellige tyngdekraftsteorier forskellige værdier af koefficienterne - de såkaldte PLT-parametre - i generelle vendinger. Dette fører til potentielt observerbare effekter, hvis eksperimentelle begrænsninger af størrelsen fører til begrænsninger på PNP-parametrene og følgelig begrænsninger på tyngdekraftsteorien, der forudsiger dem. Man kan sige, at PPN-parametrene beskriver forskellene mellem den newtonske og den beskrevne gravitationsteori. PPN-formalismen er anvendelig, når gravitationsfelter er svage, og bevægelseshastighederne for de kroppe, der danner dem, er små sammenlignet med lysets hastighed (mere præcist tyngdehastigheden) - kanoniske eksempler på anvendelse er solsystemets bevægelse og systemer af dobbeltpulsarer . [1] [2] $c^{{-2}}$

Historie

Den første parametrisering af den post-newtonske tilnærmelse tilhører Eddington (Eddington, 1922 [3] ). Den betragtede dog kun gravitationsfeltet i vakuum omkring et sfærisk symmetrisk statisk legeme [4] . Nordtvedt (Nordtvedt, 1968 [5] , 1969 [6] ) udvidede formalismen til 7 parametre, og Will (1971 [7] ) indførte i den beskrivelsen af himmellegemer som udvidede fordelinger af energi-momentum-tensoren [ 4] .

De mest almindeligt anvendte versioner af formalismen beskrevet nedenfor er baseret på arbejdet af Ni (Ni, 1972 [8] ), Will og Nordtvedt (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), Misner , Thorn og Wheeler Gravity [ 10] og Will [1] [2] og har 10 parametre.

Beta-delta notation

Ti post-newtonske parametre (PPN-parametre) karakteriserer fuldstændig adfærden af langt de fleste metriske teorier om tyngdekraft i grænsen af et svagt felt [11] . PPN-formalismen har vist sig at være et værdifuldt værktøj til at teste generel relativitet [12] . I notationen Will (Will, 1971 [7] ), Ni (Ni, 1972 [8] ) og Misner, Thorne og Wheeler (Misner et al., 1973 [10] ), har PPN-parametrene følgende konventionelle betydning [ 13] :

$\gamma$	Hvor stærk er den rumlige krumning genereret af en enhed hvilemasse? $g_{ij}$
$\beta$	Hvor stor er ikke-lineariteten i tilføjelsen af gravitationsfelter? $g_{{00}}$
$\beta_{1}$	Hvor meget tyngdekraft produceres af en enhed af kinetisk energi ? $g_{{00}}$ $\tekststil\frac12\rho_0v^2$
$\beta _{2}$	Hvor meget tyngdekraft produceres af en enhed af tyngdekraften potentiel energi ? $g_{{00}}$ $\rho_0/U$
$\beta_3$	Hvor meget tyngdekraft produceres af en enhed af kroppens indre energi ? $g_{{00}}$ $\rho_0\Pi$
$\beta_4$	Hvor meget tyngdekraft produceres af en trykenhed ? $g_{{00}}$ $s$
$\zeta$	Forskellen mellem manifestationen af radial og transversal kinetisk energi i tyngdekraften i $g_{{00}}$
$\eta$	Forskellen mellem manifestationen af radiale og tværgående spændinger i tyngdekraften i $g_{{00}}$
$\Delta_1$	Hvor meget træk i inertielle referencerammer produceres af en momentumenhed ? $g_{0j}$ $\rho_0v$
$\Delta_2$	Forskellen mellem graden af træk af inertielle referencerammer i radial og tværgående retning

$g_{\mu \nu }$ er en 4 gange 4 symmetrisk metrisk tensor, og de rumlige indekser og spænder fra 1 til 3. $jeg$ $j$

I Einsteins teori svarer disse parametre til det faktum, at (1) Newtonsk tyngdekraft genoprettes for små bevægelseshastigheder af legemer og deres masser, (2) lovene for bevarelse af energi, masse, momentum og vinkelmomentum er opfyldt, og (3) teoriens ligninger afhænger ikke af referencerammen. I en sådan notation har den generelle relativitetsteori PPN-parametrene

\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1

og [13] .

\zeta =\eta =0

Alfa-zeta notation

En mere moderne version (Will & Nordtvedt, 1972 [9] ), også brugt af Will (1981 [2] , 2014 [1] ), bruger et andet ækvivalent sæt af 10 PST-parametre.

\gamma=\gamma

\beta=\beta

\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4

\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1

\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta

\zeta_1=\zeta

\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1

\zeta_3=\beta_3-1

\zeta_4=\beta_4-\gamma

\xi

er hentet fra .

3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2

Betydningen af parametrene , og på samme tid - graden af manifestation af virkningerne af den foretrukne referenceramme ( ether ) [14] . , , , og mål graden af overtrædelse af lovene om bevarelse af energi, momentum og vinkelmomentum [15] . $\alpha_{1}$ $\alpha_2$ $\alpha _{3}$ $\zeta_{1}$ $\zeta _{2}$ $\zeta _{3}$ $\zeta _{4}$ $\alpha _{3}$

I disse PPN-notationer er GR-parametrene

\gamma=\beta=1

og [16] .

\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4 }=\xi=0

Type alfa-zeta-metrik af varianten:

\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\ gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1- 2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^ 3) \end{matrix}

g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i - \textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,

g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;

hvor summering antages over gentagne indekser, er defineret som den maksimale værdi af det newtonske potentiale i systemet , kvadratet af stofhastigheden eller lignende størrelser (de har alle samme størrelsesorden), er koordinatens hastighed systemets PPN i forhold til den valgte hvileramme, er kvadratet af denne hastighed, og hvis og i ellers, Kronecker-symbolet [17] . $\varepsilon^2$ $U$ $w^i$ $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ $\delta_{ij}=1$ $i=j$ $0$

Der er kun ti simple metriske potentialer: , , , , , , , , og [18] , lige så mange som PPN-parametrene, hvilket garanterer det unikke ved PNP-løsningen for hver teori om tyngdekraft [17] . Formen af disse potentialer ligner gravitationspotentialet i den Newtonske teori - de er lig med visse integraler over stoffordelingen, for eksempel [18] , $U$ $U_{ij}$ $\Phi_W$ $EN$ $\Phi _{1}$ $\Phi _{2}$ $\Phi_3$ $\Phi_4$ $V_i$ $W_i$

U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.

For en komplet liste over definitioner af metriske potentialer, se Misner, Thorn, Wheeler (Misner et al., 1973 [19] ), Will (1981 [18] , 2014 [20] ) og andre.

Procedure til at udlede PPN-parametre fra tyngdekraftsteorien

Eksempler på analyse kan findes i Will, 1981 [2] . Processen består af ni trin [21] :

Trin 1: Definition af variable: (a) dynamiske gravitationsvariable såsom metrisk , gravitationsskalar , vektor- og/eller tensorfelt osv.; (b) foretrukne geometrivariable såsom flad baggrundsmetrik , kosmologisk tid osv.; (c) variabler for materielle (ikke-gravitationelle) felter. $g_{\mu \nu }$ $\phi$ $K_{\mu }$ ${\displaystyle B_{\mu \nu))$ $\eta _{{\mu \nu))$ $t$

Trin 2: Etablering af kosmologiske grænsebetingelser: antager vi et Friedmann-univers (homogent og isotropt), introducerer vi isotrope koordinater i universets hvileramme (en komplet kosmologisk løsning er ikke altid nødvendig for dette). De opnåede kosmologiske baggrundsfelter kaldes , , , . $g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})$ $\phi _{0}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)))$

Trin 3: Vi introducerer nye variable , og om nødvendigt også , , . ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)))$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0))$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)))$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)))$

Trin 4: Vi erstatter de opnåede udtryk og energi-momentum-tensoren af stof (normalt en ideel væske) i ligningerne for gravitationsfeltet og kasserer også termer af for høj orden for andre dynamiske gravitationsvariable. ${\displaystyle h_{\mu \nu))$

Trin 5: Løs ligninger for op til . Hvis vi antager , at denne mængde har en tendens til at være nul langt fra systemet, får vi formen Den newtonske metrik har formen , , . Lad os gå videre til enheder, hvor gravitations-"konstanten", målt nu langt fra graviterende stof, er lig med en . ${\displaystyle h_{00))$ $O(2)$ $h_{00}=2\alpha U$ $U$ $\alfa$ $G$ $g_{00}=-c_{0}+2\alpha U$ $g_{0j}=0$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1))$ $G_{\mbox{i dag}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1$

Trin 6: Fra den lineariserede version af feltligningerne får vi op til og op til . ${\displaystyle h_{ij))$ $O(2)$ ${\displaystyle h_{0j))$ $O(3)$

Trin 7: Find op til . Dette er den sværeste fase, da ligningerne her bliver ikke-lineære. Energimoment-tensoren skal også udvides til den ønskede rækkefølge. ${\displaystyle h_{00))$ $O(4)$

Trin 8: Gå til standard DPL-kalibrering.

Trin 9: Sammenlign den resulterende metrik med det kendte PST-udtryk, bestem PST-parametrene for teorien. $g_{\mu \nu }$

Sammenligning af teorier om tyngdekraften

En tabel, der præsenterer PNP-parametrene for 23 teorier om tyngdekraft, findes i artiklen " Alternative teorier om tyngdekraft ".

De fleste metriske teorier kan opdeles i flere kategorier. Skalære teorier om tyngdekraft omfatter konformt flade teorier og stratificerede teorier med rumlige sektioner strengt ortogonale i forhold til tidsretningen.

I konformt flade teorier, såsom Nordström-teorierne , er metrikken lig med og derfor , hvilket er absolut uforeneligt med observationer. I stratificerede teorier, såsom Yilmaz teorien , er metrikken og derfor, , hvilket igen modsiger observationer. $\mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta ))$ $\gamma =-1$ $\mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta ))$ $\alpha _{1}=-4(\gamma +1)$

En anden klasse af teorier er kvasi-lineære teorier af Whitehead -typen . For dem . Da de relative amplituder af harmoniske af jordens tidevand afhænger af og , gør deres målinger det muligt at forkaste alle sådanne teorier, med undtagelse af en så stor værdi af . $\xi =\beta$ $\xi$ $\alpha_2$ $\xi$

En anden klasse af teorier er bimetriske teorier . Det er ikke lig med 0. Vi ved fra spin-aksens præcessionsdata for millisekundpulsarer, at , og dette afviser effektivt de bimetriske teorier. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Dernæst kommer skalar-tensor-teorierne , for eksempel Brans-Dicke-teorien . For sådanne teorier i den første tilnærmelse . Grænsen giver en meget lille , som kendetegner graden af "skalær" gravitationel interaktion, og efterhånden som de eksperimentelle data forfines, stiger grænsen for alting fortsat, så sådanne teorier bliver mindre og mindre sandsynlige. $\gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$ ${\displaystyle \gamma -1<2,3\ gange 10^{-5))$ $1/\omega$ $\omega$

Den sidste klasse af teorier er vektor-tensor teorier . For dem ændrer gravitations-"konstanten" sig med tiden og er ikke lig med 0. Månens laserafstand begrænser kraftigt variationen af gravitations-"konstanten" og , så disse teorier ser heller ikke pålidelige ud. $\alpha_2$ ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9))$

Nogle metriske teorier falder ikke ind under ovenstående kategorier, men har lignende problemer.

Eksperimentelle grænser for PPN-parametre

Værdier hentet fra Wills anmeldelse, 2014 [23]

Parameter	Grænser	effekter	Eksperiment
$\gamma-1$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5))$	Shapiro-effekt , Gravitationsafbøjning af lys	Cassini-Huygens bane
$\beta-1$	$8\cdot 10^{-5}$	Nordtvedt effekt , Perihelskifte	Laserafstand af Månen , planetbevægelser i solsystemet
$\xi$	$4\cdot 10^{-9}$	Præcession af rotationsaksen	Millisekunder pulsarer
$\alpha_{1}$	$4\cdot 10^{-5}$	Baneplanskift	Månens laserafstandsmåling, pulsar J1738+0333
$\alpha_2$	$2\cdot 10^{-9}$	Præcession af rotationsaksen	Millisekunder pulsarer
$\alpha _{3}$	$4\cdot 10^{-20}$	selvacceleration	Pulsar deceleration statistik
$\zeta_{1}$	$0,02$	-	Kombineret grænse for forskellige eksperimenter
$\zeta _{2}$	$4\cdot 10^{-5}$	Acceleration af dobbeltpulsarer	PSR 1913+16
$\zeta _{3}$	$10^{{-8}}$	Newtons tredje lov	Måneacceleration
$\zeta _{4}$	$0,006$ ‡	-	Er ikke selvstændig

‡ Baseret på testamente (1976 [24] , 2014 [1] ). Teoretisk set er det i nogle teorier om tyngdekraft muligt at omgå denne begrænsning, så vil den svagere grænse fra Nees papir (1972 [8] ) gælde. $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ $|\zeta_4|< 0,4$

Noter

↑ 1 2 3 4 Will, 2014 .
↑ 1 2 3 4 5 Will, 1985 .
↑ Eddington, 1934 .
↑ 1 2 MTU, 1977 , bind 3, s. 315.
↑ Nordtvedt, 1968 .
↑ Nordtvedt, 1969 .
↑ 12 Will , 1971 .
↑ 1 2 3 Ni, 1972 .
↑ 1 2 Will & Nordtvedt, 1972 .
↑ 1 2 MTU, 1977 .
↑ MTU, 1977 , bind 3, s. 313.
↑ MTU, 1977 , bind 3, s. 314.
↑ 1 2 MTU, 1977 , bind 3, s. 317-318.
↑ Will, 1985 , s. 90-91.
↑ Will, 1985 , s. 99-100.
↑ Will, 1985 , 5.2. Generel relativitetsteori.
↑ 1 2 Will, 1985 , s. 87.
↑ 1 2 3 Will, 1985 , 4.1. Post-Newtonsk grænse. d. Post-Newtonske potentialer ..
↑ MTU, 1977 , bind 3. § 39.8. PPN-metriske koefficienter.
↑ Will, 2014 , s. 32-33, boks 2.
↑ Will, 1985 , 5.1. Beregningsmetode..
↑ Will, 2014 , 3.3 Konkurrerende teorier om tyngdekraft..
↑ Will, 2014 , s. 46.
↑ Will, 1976 .

Litteratur

Hoved

Vil K. Teori og forsøg i gravitationsfysik: Pr. fra engelsk. - M. : Energoatomizdat, 1985. - 296 s. — Oversat af Will, CM Theory and Experiment in Gravitational Physics. - Cambridge University Press, 1981, 1993. - ISBN 0-521-43973-6 .
Vil CM Konfrontationen mellem generel relativitet og eksperiment // Levende anmeldelser i relativitetsteori. - 2014. - Bd. 17 , nr. 4 . - doi : 10.12942/lrr-2014-4 . — . - arXiv : 1403.7377 . Arkiveret fra originalen den 19. marts 2015.

Ekstra

Misner, C., Thorn K., Wheeler J. Gravity. I 3 bind . - M . : Mir, 1977. - Oversat af Misner, CW, Thorne, KS & Wheeler, JA Gravitation. - W. H. Freeman og Co., 1973.
Eddington A. S. Relativitetsteorien . - L.-M.: GTTI, 1934. - Oversat af Eddington, AS The Mathematical Theory of Relativity . - Cambridge University Press, 1922.
Ni W.-T. Teoretiske rammer for test af relativistisk tyngdekraft.IV. et kompendium af metriske teorier om tyngdekraft og deres POST Newtonske grænser // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Vol. 176 . — S. 769 . - doi : 10.1086/151677 . - .
Nordtvedt K. Ækvivalensprincip for massive kroppe. II. Teori (engelsk) // Fysisk gennemgang. - 1968. - Bd. 169 . - S. 1017-1025 . - doi : 10.1103/PhysRev.169.1017 . - .
Nordtvedt K. Ækvivalensprincip for massive legemer inklusive rotationsenergi og strålingstryk // Fysisk gennemgang. - 1969. - Bd. 180 . - S. 1293-1298 . - doi : 10.1103/PhysRev.180.1293 . - .
Vil CM teoretiske rammer for test af relativistisk tyngdekraft. II. Parametriseret post-newtonsk hydrodynamik og Nordtvedt-effekten // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1971. - Vol. 163 . — S. 611 . - doi : 10.1086/150804 . - .
Will CM Aktiv masse i relativistisk tyngdekraft - Teoretisk fortolkning af Kreuzer-eksperimentet // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1976. - Vol. 204 . - S. 224-234 . - doi : 10.1086/154164 . - .
Will CM , Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism // The Astrophysical Journal . - IOP Publishing , 1972. - Vol. 177 . — S. 757 . - doi : 10.1086/151754 . - .