Ordreforhold

En ordensrelation er en binær relation (herefter benævnt eller ) mellem elementerne i en given mængde, der i sine egenskaber ligner egenskaberne for ulighedsrelationen . $\precurlyeq$ $\præc$

Et sæt, hvis elementer alle er sammenlignelige med en given ordensrelation (det vil sige for enhver enten , eller ), kaldes lineært ordnet , og rækkefølgerelationen kaldes lineær orden . Hvis ikke alle ulige elementer er sammenlignelige, kaldes rækkefølgen partial , og mængden kaldes delvis ordnet . Der er også en streng rækkefølge , hvor det er umuligt, og ikke-strengt ellers [1] . $a\neq b$ $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\præc$ $a\prec a$ $\precurlyeq$

Eksempler [1] .

Relationen for reelle tal definerer en ikke-streng lineær rækkefølge for dem. $\leqslant$
Forholdet for reelle tal definerer en streng lineær rækkefølge for dem. $<$
Delbarhedsrelation på mængden af naturlige tal : hvis er en divisor Dette er en ikke-streng partiel orden, da ikke alle naturlige tal er delelige med hinanden uden en rest. $a|b,$ $-en$ $b.$
Inklusionsrelationen på sættet af delmængder af et givet sæt definerer også en ikke-streng partiel rækkefølge.
Relationen (forfader, efterkommer) på en bestand af dyr er en streng delorden.

Definitioner

Den ikke-strenge (refleksive) partielle ordensrelation ( ) på mængden er en binær relation , for hvilken følgende betingelser er opfyldt for enhver af dem [2] : $\precurlyeq$ $x$ $a,b,c$ $x$

Refleksivitet :. _ $a\preccurlyeq a$
Antisymmetri : hvis og , så . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Transitivitet : hvis og , så . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\preccurlyeq c$

Det er også praktisk yderligere at definere den strenge (antirefleksive) ordensrelation ( ) for relationen på samme sæt [1] : $\precurlyeq$ $\præc$

a \prec b

, hvis og på samme tid

a\preccurlyeq b

a\neq b.

Egenskaberne for en streng relation adskiller sig fra egenskaberne for en ikke-streng:

Antirefleksivitet : ; $a\not \prec a$
Asymmetri : hvis , så ; $a\prec b$ $b\not \prec a$
Transitivitet : hvis og , så . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

Den 2. ejendom er ikke uafhængig, den følger af antirefleksivitet og transitivitet. Derfor er en relation en relation af streng orden, hvis og kun hvis den er antirefleksiv og transitiv.

Et sæt , hvorpå der indføres en streng eller ikke-streng ordensrelation, kaldes delvist ordnet . Hvis derudover for nogle elementer en af betingelserne er yderligere opfyldt: eller så kaldes rækkefølgen lineær , og mængden er lineært ordnet [2] . $x$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Historie

Tegnene blev foreslået af den engelske videnskabsmand Thomas Harriot i hans arbejde, udgivet posthumt i 1631 [3] . $<$ $>$

Definitionen af et delvist ordnet sæt blev først eksplicit formuleret af F. Hausdorff [4] , selvom lignende ordensaksiomer blev overvejet af G. Leibniz omkring 1690. Definitionen af lineært ordnede og fuldstændigt ordnede mængder blev først givet af G. Kantor [5] .

Variationer og generaliseringer

Hvis et ordnet sæt danner en form for algebraisk struktur, så kræves det normalt, at rækkefølgen i denne struktur er i overensstemmelse med algebraiske operationer. Se artikler om dette:

Nogle gange er det nyttigt at overveje relationer, for hvilke kun det første og tredje aksiom gælder (refleksivitet og transitivitet); sådanne relationer kaldes preorder eller quasiorder . Hvis er en kvasi-orden, så er relationen givet af formlen [6] : $\præc$

a\equiv b,

hvis og

a \prec b

b\prec a,

vil være en ækvivalensrelation . På et kvotientsæt , ved denne ækvivalens, kan en ikke-streng rækkefølge defineres som følger [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

hvis

a\prec b,

hvor er ækvivalensklassen, der indeholder elementet $[x]$ $x.$

Se også

Spielrains sætning

Noter

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , s. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , s. 78.
↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog . - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Delvist ordnet sæt // Matematisk leksikon (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 s.
↑ 1 2 Bestilling // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 s.

Litteratur

Kurosh A. G. Forelæsninger om generel algebra. - 2. udg. — M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Numeriske systemer. - M . : Uddannelse, 1975. - 199 s.