I matematik , for en given kompleks hermitisk matrix og en vektor , der ikke er nul , er Rayleigh-relationen [1] defineret som følger [2] [3] :
For reelle matricer reduceres betingelsen for, at en matrix er hermitisk til dens symmetri , og den hermitiske konjugation af vektorer bliver til en almindelig transposition . Bemærk, at for enhver reel konstant . Husk på, at en hermitisk (såvel som en symmetrisk reel) matrix har reelle egenværdier . Det kan vises, at for en matrix når Rayleigh-forholdet sin minimumsværdi (den mindste egenværdi af matricen ), når den er lig med (den tilsvarende egenvektor). På lignende måde kan det vises, at og . Rayleigh-relationen bruges i Courant-Fishers minimax-sætning til at opnå alle værdier af egenværdierne [4] . Det bruges også i algoritmer til at finde matrixegenværdier for at opnå en egenværditilnærmelse fra en egenvektortilnærmelse. Relationen er nemlig grundlaget for iterationer med Rayleigh-relationen [5] [6] .
Sættet af værdier af Rayleigh-relationen kaldes det numeriske billede af matricen [7] [8] .
Kovariansmatricen M for en multivariat statistisk prøve A (matrix af observationer) kan repræsenteres som et produkt A' A [9] [10] . Da M er en symmetrisk reel matrix, har M ikke-negative egenværdier og ortogonale (eller kan reduceres til ortogonale) egenvektorer.
For det første at egenværdierne ikke er negative:
Og for det andet, at egenvektorerne er ortogonale i forhold til hinanden:
(hvis egenværdierne er forskellige - i tilfælde af de samme værdier kan du finde et ortogonalt grundlag).Lad os nu vise, at Rayleigh-forholdet antager en maksimal værdi på vektoren svarende til den største egenværdi. Lad os udvide en vilkårlig vektor i form af basis for egenvektorer v i :
, hvor er projektionen af x påAltså ligestilling
kan omskrives i følgende form:
Da egenvektorerne er ortogonale, bliver den sidste lighed
Den sidste lighed viser, at Rayleigh-forholdet er summen af de kvadrerede cosinus af vinklerne mellem vektoren og hver af egenvektorerne , ganget med den tilsvarende egenværdi.
Hvis en vektor maksimerer , så maksimerer alle vektorer opnået fra multiplikation med en skalar ( for ) også R. Således kan problemet reduceres til at finde det maksimale under betingelsen .
Da alle egenværdier er ikke-negative, er problemet reduceret til at finde maksimum af en konveks funktion , og det kan vises, at den nås ved og (egenværdierne er sorteret i faldende rækkefølge).
Således når Rayleigh-forholdet sit maksimum ved egenvektoren svarende til den maksimale egenværdi.
Det samme resultat kan opnås ved at bruge Lagrange-multiplikatorer . Problemet er at finde de kritiske punkter i funktionen
,ved en konstant værdi Det vil sige, at du skal finde funktionens kritiske punkter
hvor er Lagrange-multiplikatoren. For stationære punkter af funktionen , ligheden
og
Således er egenvektorerne af matricen M kritiske punkter i Rayleigh-relationen, og deres egenværdier er de tilsvarende stationære værdier.
Denne egenskab er grundlaget for hovedkomponentanalyse og kanonisk korrelation .
Sturm-Liouville teorien består i studiet af den lineære operator
med prik produkt
,hvor funktionerne opfylder nogle specifikke randbetingelser i punkterne a og b . Rayleigh-relationen her tager formen
Nogle gange er dette forhold repræsenteret i en ækvivalent form ved hjælp af integration af dele [11] :
For ethvert par af reelle symmetriske positive bestemte matricer og en vektor , der ikke er nul, er den generaliserede Rayleigh-relation defineret som
Den generaliserede Rayleigh-relation kan reduceres til Rayleigh-relationen ved at transformere , hvor er nedbrydningen af Cholesky -matrixen .