Hilberts ellevte problem

Hilberts ellevte opgave er et af David Hilberts 23 problemer , der blev præsenteret ved den anden internationale matematikkongres i Paris i 1900. Ved at fortsætte teorien om kvadratisk form formulerede Hilbert problemet som følger:

Vores viden om teorien om kvadratiske talfelter giver os mulighed for med succes at studere teorien om kvadratiske former med et hvilket som helst antal variable og alle algebraiske numeriske koefficienter. Dette fører især til et interessant problem: at løse en given andengradsligning med algebraiske numeriske koefficienter med et hvilket som helst antal variable, integrale eller brøktal relateret til det algebraiske sæt af rationelle tal, defineret af koefficienterne.

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] Vores nuværende viden om teorien om kvadratiske talfelter sætter os i stand til med succes at angribe teorien om kvadratiske former med et hvilket som helst antal variable og med alle algebraiske numeriske koefficienter. Dette fører især til det interessante problem: at løse en given andengradsligning med algebraiske numeriske koefficienter i et hvilket som helst antal variable ved hjælp af integral- eller brøktal, der hører til det algebraiske rationalitetsområde bestemt af koefficienterne.

Som den amerikanske og canadiske matematiker Irving Kaplansky sagde , "Det 11. problem er simpelthen dette: klassificer kvadratiske former fra algebraiske talfelter." Det er præcis, hvad den tyske matematiker Hermann Minkowski gjorde for en kvadratisk form med brøkkoefficienter. En andengradsform (ikke en andengradsligning) er et hvilket som helst polynomium , hvor hvert led har variabler , der optræder nøjagtigt to gange. Den generelle form for en sådan ligning er: (alle koefficienter skal være heltal ).

Det anses for, at en given kvadratisk form er et naturligt tal , hvis dette tal er givet i stedet for variabler, der erstatter specifikke tal. Den tyske matematiker og fysiker Karl Gauss og hans tilhængere opdagede, at hvis man ændrer variablerne på en bestemt måde, så vil den nye andengradsform være de samme naturlige tal som de tidligere, men i en anden, mere forståelig form. Han brugte denne teori om ækvivalente kvadratiske former for at bevise resultaterne af teorien om heltal. Den franske astronom og matematiker Joseph Lagrange viste for eksempel, at ethvert naturligt tal kan udtrykkes som summen af ​​fire kvadrater. Gauss beviste dette ved hjælp af sin teori om ækvivalensrelationer , der viser, at den kvadratiske formel afbildes til alle naturlige tal. Som tidligere nævnt skabte og beviste Minkowski en lignende teori for kvadratiske former, der brugte brøker som koefficienter. Gilberts ellevte problem tilbyder en lignende teori. Dette er med andre ord en klassifikationsmetode, hvor vi kan bestemme, om en form er ækvivalent med en anden, men om koefficienterne er algebraiske tal . Den tyske matematiker Helmut Hasse beviste dette ved hjælp af sit principog det faktum, at teorien er relativt enkel for p-adiske systemer i oktober 1920. Han udgav sit arbejde i 1923 og 1924. Det lokal-globale princip siger, at et generelt resultat om et rationelt tal, eller endda alle rationelle tal, ofte kan opnås ved at verificere, at resultatet er sandt for hvert af de p-adiske talsystemer.

Se også

 Hilbert problemer