Volumen (geometri)

Volumen er en additiv funktion af et sæt ( mål ), der karakteriserer kapaciteten af et område af rummet, som det optager. I første omgang opstod det og blev anvendt uden en streng definition i forhold til kroppene i det tredimensionelle euklidiske rum . De første præcise definitioner blev givet af Peano ( 1887 ) og Jordan ( 1892 ). Efterfølgende blev konceptet generaliseret af Lebesgue til en bredere klasse af sæt.

Tilnærmelser til definitionen

For at bestemme volumen er der flere væsentligt forskellige tilgange, der komplementerer hinanden og er konsistente i det endelige resultat på "gode sæt". Normalt forstås volumenbegrebet som Jordan-målet , men nogle gange Lebesgue-målet . For Riemann-manifolder introduceres begrebet volumen på samme måde som begrebet overfladeareal .

Begrebet volumen tillader naturlige generaliseringer til begrebet -dimensionelt volumen i -dimensionelt rum, også til tilfældet med riemannske og pseudo-riemannske rum af vilkårlig dimension. $n$ $n$

Bind af de enkleste kroppe

Figur	Formel	Notation
terning	$c^{3}$	$c$ - terningkant
Prisme	$Sh$	$S$ - grundareal, - prismets højde $h$
Cylinder	$\pi r^{2}h$	$r$ er radius , er højden af cylinderen $h$
Bold	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - radius
Ellipsoide	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$a,\;b,\;c$ - hovedakser
Pyramide	${\frac {1}{3}}Ah$	$EN$ - området af basen, - højden af pyramiden $h$
Kegle	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - basisradius, - keglehøjde $h$

Archimedes var i stand til at fastslå, at en kugle og kegler med en fælles top, indskrevet i en cylinder, er beslægtet som følger:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Archimedes bad om at slå en bold ud, indskrevet i en cylinder på hans grav.

Generel integral formel

Rumfanget af et legeme i tredimensionelt rum beregnes som et tredobbelt integral : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

(i kartesiske koordinater )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

(i cylindriske koordinater )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

(i sfæriske koordinater )

Se også

Noter

Litteratur

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Grundlæggende matematiske formler. Håndbog / Red. Bogdanova Yu. S. Ed. for det andet revideret og yderligere Minsk, "Den højeste skole", 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Længde, areal, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Håndbog i matematik for gymnasier. - 4. udg., Rev. og tilf.-M.: Nauka. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1988. - 432 s.