Gensidigt nummer

Den reciproke af et givet tal x  er det tal , hvis multiplikation med x giver en . Accepteret adgang: eller . To tal, hvis produkt er 1, kaldes gensidige . Det reciproke af et tal må ikke forveksles med det reciproke af en funktion. For eksempel adskiller det sig fra værdien af ​​funktionen invers til cosinus- arccosinus , som er betegnet eller .

Omvendt til reelt tal

For ethvert reelt (eller komplekst ) tal bortset fra nul , er der et tal, der er dets inverse. Den reciproke af et reelt tal kan gives som en brøk eller en potens med eksponenten -1 . Men som regel bruges notation gennem en brøk.

Nummer Baglæns
Brøk Grad

Det vil sige .

Eksempler
Nummer
Baglæns

Forveksle ikke udtrykkene "gensidigt tal" og " modsat tal ". To tal siges at være modsatte, hvis deres sum er nul. For eksempel er tallet modsat 3 −3, og det gensidige er 1/3.

Omvendt til nul

I aritmetik, som opererer med reelle (eller komplekse) tal, er der intet begreb om uendelighed (der er intet tal "uendeligt"). Derfor vurderes det, at det er umuligt at dividere med nul . Så nul har ingen gensidighed. Men siden indførelsen af ​​grænseovergangen (i matematisk analyse ) er der opstået begreber som uendeligt små og uendeligt store mængder, der er gensidigt inverse.

Ved at bruge passagen til grænsen får vi:

Således er den gensidige af nul, afhængig af hvilken side man skal stræbe efter, formelt uendelig med tegnet "+" eller "-" . Men en sådan definition af det omvendte til nul er meningsløst - introduktionen mister distributivitet, hvilket især manifesterer sig, når den omvendte kvadratgrænse også er "lig" med uendeligt, men når man dividerer den foregående grænse med denne, giver den svaret 0, ikke 1.

Men

Omvendt til komplekst tal

Inverserne af komplekse tal ser noget mere komplicerede ud end inverserne af reelle tal. Der er tre former for et komplekst tal: algebraisk , trigonometrisk og eksponentiel .

Komplekse talformer Nummer Omvendt [1]
Algebraisk
trigonometrisk
Demonstration
                    Betegnelse og bevis                    
                    Betegnelse                    

(komplekst tal), (reelle del af et komplekst tal), (imaginær del af et komplekst tal),  - imaginær enhed , (modul af et komplekst tal), (argument for et komplekst tal),  - basis af den naturlige logaritme .





Bevis:
For algebraiske og trigonometriske former bruger vi den grundlæggende egenskab af en brøk , der multiplicerer tælleren og nævneren med det komplekse konjugat :

  • Algebraisk form:



  • Trigonometrisk form:



  • Vejledende form:



Når man finder det inverse af et komplekst tal, er det således mere bekvemt at bruge dets eksponentielle form.

Eksempel:

Komplekse talformer Nummer Omvendt [1]
Algebraisk
trigonometrisk

eller [2]


eller [2]

Demonstration

Omvendt til den imaginære enhed

Der er kun to tal ( kompleks konjugat ), hvis gensidige og modsætninger er lige store. Dette er .

Nummer Ligestilling af omvendt og modsat
At skrive det omvendte gennem en brøk Skriver det omvendte gennem graden
                    Bevis                    

Lad os demonstrere beviset for (for tilsvarende). Vi bruger brøkens hovedegenskab : Således får vi __ eller __ Tilsvarende for : __ __ eller __








Noter

  1. 1 2 Det inverse af et komplekst tal skrives på samme form som dette tal .
  2. 1 2 Skrivning af et komplekst tal i trigonometrisk form ved hjælp af en specifik værdi af argumentets cosinus og sinus:

Se også