Den reciproke af et givet tal x er det tal , hvis multiplikation med x giver en . Accepteret adgang: eller . To tal, hvis produkt er 1, kaldes gensidige . Det reciproke af et tal må ikke forveksles med det reciproke af en funktion. For eksempel adskiller det sig fra værdien af funktionen invers til cosinus- arccosinus , som er betegnet eller .
For ethvert reelt (eller komplekst ) tal bortset fra nul , er der et tal, der er dets inverse. Den reciproke af et reelt tal kan gives som en brøk eller en potens med eksponenten -1 . Men som regel bruges notation gennem en brøk.
Nummer | Baglæns | |
Brøk | Grad | |
Det vil sige .
Eksempler | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nummer | ||||||||||
Baglæns |
Forveksle ikke udtrykkene "gensidigt tal" og " modsat tal ". To tal siges at være modsatte, hvis deres sum er nul. For eksempel er tallet modsat 3 −3, og det gensidige er 1/3.
I aritmetik, som opererer med reelle (eller komplekse) tal, er der intet begreb om uendelighed (der er intet tal "uendeligt"). Derfor vurderes det, at det er umuligt at dividere med nul . Så nul har ingen gensidighed. Men siden indførelsen af grænseovergangen (i matematisk analyse ) er der opstået begreber som uendeligt små og uendeligt store mængder, der er gensidigt inverse.
Ved at bruge passagen til grænsen får vi:
Således er den gensidige af nul, afhængig af hvilken side man skal stræbe efter, formelt uendelig med tegnet "+" eller "-" . Men en sådan definition af det omvendte til nul er meningsløst - introduktionen mister distributivitet, hvilket især manifesterer sig, når den omvendte kvadratgrænse også er "lig" med uendeligt, men når man dividerer den foregående grænse med denne, giver den svaret 0, ikke 1.
Men
Inverserne af komplekse tal ser noget mere komplicerede ud end inverserne af reelle tal. Der er tre former for et komplekst tal: algebraisk , trigonometrisk og eksponentiel .
Komplekse talformer | Nummer | Omvendt [1] |
Algebraisk | ||
trigonometrisk | ||
Demonstration |
Betegnelse og bevis
Bevis:
|
Når man finder det inverse af et komplekst tal, er det således mere bekvemt at bruge dets eksponentielle form.
Eksempel:
Komplekse talformer | Nummer | Omvendt [1] |
Algebraisk | ||
trigonometrisk | eller [2] |
eller [2] |
Demonstration |
Der er kun to tal ( kompleks konjugat ), hvis gensidige og modsætninger er lige store. Dette er .
Nummer | Ligestilling af omvendt og modsat | |
At skrive det omvendte gennem en brøk | Skriver det omvendte gennem graden | |
Bevis
Lad os demonstrere beviset for (for tilsvarende).
Vi bruger brøkens hovedegenskab :
Således får vi __ eller __
Tilsvarende for : __ __ eller __ |