Generisk funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En generaliseret funktion , eller fordeling , er et matematisk begreb, der generaliserer det klassiske begreb om en funktion . Behovet for en sådan generalisering opstår i mange fysiske og matematiske problemer.

Begrebet en generaliseret funktion gør det muligt i en matematisk korrekt form at udtrykke sådanne idealiserede begreber som tætheden af et materialepunkt , punktladning, punktdipol , (rumlig) tæthed af et enkelt eller dobbelt lag , intensiteten af en øjeblikkelig kilde, etc.

På den anden side afspejler begrebet en generaliseret funktion det faktum, at det virkelig er umuligt at måle værdien af en fysisk størrelse på et punkt, men kun dens gennemsnitlige værdier kan måles i små kvarterer af et givet punkt. Teknikken med generaliserede funktioner tjener således som et bekvemt og passende apparat til at beskrive fordelingen af forskellige fysiske størrelser. Matematik i begyndelsen af det 20. århundrede havde ikke de nødvendige strenge formalismer til at operere med en ny klasse af afhængigheder af mængder opdaget i fysikken.

Et vigtigt bidrag til dannelsen af en ny matematisk tilgang til begrebet en funktion i fysik tilhører Η. M. Günther , som foreslog at overveje de tilsvarende mængdefunktioner i stedet for punktkarakteristika af tæthedstypen tilbage i 1916 [1] og forsøgte at gentænke konceptet med at løse en ligning af matematisk fysik på dette grundlag. N.M. Günther forbandt ikke disse ideer med den nye funktionelle analyse og kvantemekanik. Grundlæggende ideer baseret på brugen af rum med endelige funktioner og et fundamentalt nyt koncept for en generaliseret afledt blev formuleret i 1935 af S. L. Sobolev [2] . Ti år senere kom den fremragende franske matematiker L. Schwartz til lignende ideer på egen hånd , idet han trak på teorien om lokalt konvekse rum udviklet på den tid og konstruerede Fourier-transformationen af generaliserede funktioner [3] . Sobolev og Schwartz er skaberne af teorien om fordelinger - generaliserede funktioner. Generaliserede funktioner blev empirisk brugt af Dirac i hans forskning i kvantemekanik [4] [5] .

Efterfølgende blev teorien om generaliserede funktioner intensivt udviklet af mange matematikere og teoretiske fysikere, hovedsageligt i forbindelse med behovene for teoretisk og matematisk fysik og teorien om differentialligninger [6] .

Definition

Formelt defineres en generaliseret funktion som en lineær kontinuerlig funktional over et eller andet vektorrum af tilstrækkeligt "gode funktioner" (de såkaldte grundfunktioner ): [7] . $f$ $\venstre(f,\varphi \højre)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$

Linearitetstilstand: . $\venstre(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Kontinuitetsbetingelse: hvis , så . $\varphi _{{\nu }}\højrepil 0$ $\venstre(f,\varphi _{{\nu }}\højre)\højrepil 0$

Et vigtigt eksempel på et grundlæggende rum er et rum — en samling af endelige -funktioner på , udstyret med en topologi, der er naturlig for det: en sekvens af funktioner fra konvergerer, hvis deres understøtninger tilhører en fast bold, og de -konvergerer i den. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

Det dobbelte rum k er rummet af generaliserede funktioner . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

Konvergensen af en sekvens af generaliserede funktioner fra defineres som den svage konvergens af funktionaler fra , det vil sige til betyder , at for enhver . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\til f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\til (f,\;\varphi)$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

For at en lineær funktional på skal være en generaliseret funktion, dvs. det er nødvendigt og tilstrækkeligt, at der for ethvert afgrænset åbent sæt eksisterer tal og sådan, at $f$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

for alle med en fragtmand i . $\varphi$ $\Omega$

Hvis tallet i uligheden kan vælges uafhængigt af , så har den generaliserede funktion en endelig rækkefølge; den mindste sådan kaldes ordenen . $m$ $\Omega$ $f$ $m$ $f$

De enkleste eksempler på generaliserede funktioner er de funktionaliteter, der genereres af lokalt summerbare funktioner

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

Generaliserede funktioner defineret af lokalt summerbare funktioner i henhold til denne formel kaldes regulære ; resten af de generaliserede funktioner kaldes ental . $f(x)$

Generaliserede funktioner har generelt ikke værdier på individuelle punkter. Ikke desto mindre kan vi tale om sammenfaldet af en generaliseret funktion med en lokalt summerbar funktion på et åbent sæt : en generaliseret funktion fra falder sammen med en lokalt summerbar funktion i en funktion, hvis $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

for alle med en fragtmand i . Især ved , får vi den definition, at den generaliserede funktion forsvinder inde i . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $f$ $\Omega$

Sættet af punkter i intet nabolag, hvoraf den generaliserede funktion forsvinder, kaldes støtte for den generaliserede funktion og er betegnet med . Hvis er kompakt , kaldes den generaliserede funktion endelig . $f$ $\operatørnavn {supp} f$ $\operatørnavn {supp} f$ $f$

Eksempler

Ethvert lokalt endeligt mål definerer en generaliseret funktion $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

I særdeleshed,

Et eksempel på en singular generaliseret funktion i er Dirac -funktionen $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

Den beskriver massefylden af masse 1 koncentreret ved punktet . -funktionen har ordre 1.

x=0

\delta

Overfladefunktion . Lad være en stykkevis glat overflade og være en kontinuerlig funktion på . Den generaliserede funktion er defineret af ligheden $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Desuden er det en enkeltstående generaliseret funktion. Denne generaliserede funktion beskriver den rumlige tæthed af masser eller ladninger koncentreret på en overflade med overfladedensitet (densiteten af et simpelt lag).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Generaliseret funktion defineret af lighed $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\operatørnavn {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(for glatte finite funktioner kan dette integral gives en betydning) funktionen er ental og dens rækkefølge er lig med 2, men på et åbent sæt er den regulær og falder sammen med .

\rho

\mathbb{R} \backslash \{0\}

{\frac {1}{x))

Operationer

Lineære operationer på generaliserede funktioner introduceres som en forlængelse af de tilsvarende operationer på grundlæggende funktioner.

Ændring af variabler

Lad og være en jævn ændring af variabler. Den generaliserede funktion er defineret af ligheden $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $A:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ $f\cirkel A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

hvor betegner Jacobianeren . Denne formel kan især anvendes på en lineær mapping , den giver dig mulighed for at definere translationelt invariante, sfærisk symmetriske, centralt symmetriske, homogene, periodiske, Lorentz-invariante osv. generaliserede funktioner. $J(A)$ $EN$ $EN$

Kunstværk

Oftest bestemmes produktet af generaliserede funktioner og almindelige funktioner, mens produktet af generaliserede funktioner forbliver udefineret.

Lad og . Produktet er defineret af ligheden $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

For eksempel . For almindelige lokalt summerbare funktioner falder produktet sammen med den sædvanlige multiplikation af funktioner og . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $økse)$

Imidlertid tillader denne produktoperation generelt set ikke udvidelse til nogen generaliserede funktioner, så den er associativ og kommutativ .

Ja, ellers ville vi få en modsigelse:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Det er dog muligt at definere multiplikationen af alle generaliserede funktioner, hvis vi fjerner det ret strenge krav om, at begrænsningen af denne operation til sættet af kontinuerlige funktioner falder sammen med det sædvanlige produkt. Især Yu. M. Shirokov konstruerede en ikke-kommutativ algebra af generaliserede funktioner [8] [9] . I dag, i Vesteuropa og Amerika, er teorien om generaliserede Colombo-funktioner meget populær (se f.eks. listen over citerede værker i [10] ) (en af de primære kilder er bogen [11] , for indledende bekendtskab med den meget oftere anvendte i praksis såkaldte n. "særlige" Colombo-algebra, se afsnit 8.5 i [12] ). Inden for rammerne af denne teori er generaliserede funktioner ækvivalensklasser af en eller anden kvotientalgebra. Fordelen ved Colombo-algebraen er, at den er både associativ og kommutativ. Multiplikationen af generaliserede Colombo-funktioner falder sammen med den sædvanlige multiplikation, når den er begrænset til mængden af alle glatte (det vil sige uendeligt kontinuerligt differentiable) funktioner, mens inkonsistensen med multiplikationen af kontinuerte (men ikke glatte) funktioner løses ved at introducere begrebet association (mindre streng end begrebet ækvivalens). Den betragtede multiplikation stemmer også perfekt overens med standardoperationerne i klassisk analyse (f.eks. differentiering).

Differentiering

Lad . Den generaliserede (svage) afledte af en generaliseret funktion er defineret af ligheden $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$ $f$

\venstre({\frac {\partial f}{\partial x_{i))},\;\varphi \right)=-\venstre(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_ {i}}}\right).

Da operationen er lineær og kontinuerlig fra til , er den funktionelle defineret af højre side af ligheden en generaliseret funktion. $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Egenskaber

Rummet er komplet : hvis sekvensen af generaliserede funktioner fra er sådan, at den numeriske sekvens for enhver funktion konvergerer, så er den funktionelle $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

tilhører .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Hver af er en svag grænse for funktioner fra . Denne egenskab tages undertiden som udgangspunkt for definitionen af en generaliseret funktion, fra fuldstændigheden af rummet af generaliserede funktioner fører dette til en tilsvarende definition. $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Enhver generaliseret funktion fra er uendeligt differentierbar (i generaliseret forstand). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
Differentiering øger ikke understøttelsen af den generaliserede funktion.
For generaliserede funktioner er Leibniz-formlen til at differentiere produktet gyldig , hvor . $af$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$
Enhver generaliseret funktion fra eller er en delvis afledt af en kontinuert funktion i . $f$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
For enhver generaliseret ordensfunktion med understøttelse ved punkt 0 er der en unik repræsentation i form af en lineær kombination af partielle afledte ved nul, med en orden mindre end eller lig med . $f$ $N$ $(f,\;\varphi)$ $\varphi$ $N$

Eksempler

Delta-funktionen fås ved at beregne Fourier-integralet af en konstant:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Noter

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolai Maksimovich Gunther. Bibliografisk essay. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Matematisk samling, nr. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951
↑ Lutzen J. Forhistorien om distributionsteorien. - New York etc: Springer Verlag , 1982. - 232 s.
↑ Dirac, P. A. M. Kvantemekaniks principper. - M .: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I.M. Gelfand, G.E. Shilov. Generaliserede funktioner og handlinger på dem (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Matematisk analyse. Andet specialkursus. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Algebra af endimensionelle generaliserede funktioner. — Teoretisk og matematisk fysik . - 1979. - Bind 39. - Nr. 3. - s. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Associativ algebra af generaliserede funktioner, lukket under differentiering og antiderivat. — Teoretisk og matematisk fysik . - 1981. - Bind 46. - Nr. 3. - s. 305-309., G. K. Tolokonnikov. Om algebraer Yu. M. Shirokov. I - Teoretisk og matematisk fysik . - 1982. - Bind 51. - Nr. 3. - s. 366-375.
↑ Colombeau JF Ikke-lineære generaliserede funktioner: deres oprindelse, nogle udviklinger og seneste fremskridt. Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. −2013. - V. 7. - Nej. 2. - S. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementær introduktion til nye generaliserede funktioner. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Multiplikation af distributioner. Forelæsningsnotater i matematik. 1532. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 s. — ISBN 3-540-56288-5 .

Se også

Strengekontrovers