Normaliseringsfaktor

Normaliseringsfaktoren er en faktor, som det matematiske udtryk multipliceres med, således at enhver signifikant parameter derefter er lig med 1. Valget af normaliseringsfaktoren kaldes normalisering ( normalisering ).

Oftest mener vi den situation, hvor en ikke-negativ funktion eller alle medlemmer af en talserie ganges med normaliseringsfaktoren, således at integralet af funktionen over definitionsdomænet eller summen af rækkens led er lig med en. Så er faktoren et positivt tal eller et algebraisk udtryk uafhængigt af funktionsargumenterne. En lignende normaliseringsprocedure bruges i sandsynlighedsteori og inden for forskellige fysikområder ( statistisk fysik , kvantemekanik , spektrumteori og andre). Efter normalisering kan funktionen betragtes som en fordelingstæthed , og serien som en fordelingsrække .

Men begreberne "normaliseringsfaktor", "normalisering" bruges også i andre situationer, der ikke er relateret til statistik. I dette tilfælde kan målet med normalisering være at bringe dataene til noget mere bekvemt.

Normaliseringsfaktor i statistik

Opgaver direkte eller indirekte relateret til statistik udgør hovedområdet for anvendelse af normaliseringsfaktorer. Den generelle betydning er at stille kravet om, at den samlede sandsynlighed for alle mulige hændelser er lig med én [1] .

Normaliseringsprocedure

Hvis er en ikke-negativ funktion defineret på intervallet , så er normaliseringsfaktoren $\phi(x)$ ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{2))$ $EN$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\right]^{-1}

i dette tilfælde vil funktionen blive normaliseret. Normaliseringen udføres på samme måde i det flerdimensionale tilfælde. $f(x)=A\cdot \phi (x)$

Hvis ( ) er medlemmer af en ikke-negativ numerisk serie, findes normaliseringsfaktoren som $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $EN$

{\displaystyle A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1))

i dette tilfælde vil sekvensen have betydningen af en distributionsserie, det vil sige en liste over sandsynligheder for at realisere en diskret værdi . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

Behovet for normalisering

De mest signifikante og hyppigst forekommende fordelinger er som regel allerede registreret med normalisering, det vil sige, at der ikke kræves yderligere procedurer. For eksempel har normalfordelingen af en mængde (med en standardafvigelse ) den analytiske form $x$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ sqrt {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

Her antages definitionsdomænet og betingelsen er opfyldt. $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1$

I mindre almindelige situationer kan det dog være nødvendigt at vælge en normaliseringsfaktor. Lad os sige, nogle gange er det nødvendigt at indsnævre definitionsdomænet (for eksempel, i eksemplet ovenfor, overvej domænet ikke , men ; så bliver det ). Det er ikke ualmindeligt, at en fordeling angives "op til en konstant faktor", det vil sige i formen " [udtryk]", og det antages, at denne konstante faktor vil blive fundet ved normalisering. $x$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty \ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ $\phi (x)\sim$

Eksempler fra fysikområdet

Eksempel 1 . Maxwell-fordelingen for hastighedsmodulerne af molekyler i en ideel gas har formen ( - Boltzmanns konstant, - temperatur, - masse af et molekyle). For at sikre normalisering skal normaliseringsfaktoren være lig med . $\phi (v)\sim v^{2}\cdot \exp(-mv^{2}/2kT)$ $k$ $T$ $m$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $EN$ ${\displaystyle 4\pi (m/2\pi kT)^{3/2))$

Eksempel 2 . En partikels tilstand i kvantemekanikken er givet af bølgefunktionen . Kvadraten af denne funktions modul har betydningen af sandsynlighedens tæthed for at detektere en partikel i punktet ( , , ). I dette tilfælde skal relationen være opfyldt , hvor integrationen udføres over hele det volumen, hvori partiklen kan være [2] . $\psi (x,\,y,\,z)$ $x$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

Eksempel 3 . Det kontinuerlige elektromagnetiske eller akustiske spektrum kan angives som en funktion (dimension W /m 2 / Hz ), - frekvens, - total intensitet i W/m 2 . I dette tilfælde spiller frekvensfordelingstætheden i spektret en rolle, og ligheden skal holde . Hvis spektret er diskret, kan det specificeres af et sæt frekvens-intensitetspar ( , ). I dette tilfælde vil frekvensfordelingsrækken bestå af termer , hvor . $I\cdot g(\nu )$ $\nu$ $jeg$ $g(\nu)$ $\int _{0}^{+\infty }g(\nu )d\nu =1$ $\nu _{n}$ $I}$ $\sum _{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ $\sum _{n}P(\nu _{n})=1$

Normaliserende faktorer uden for statistik

Normaliseringsfaktorer bruges også, når det er ønskeligt at opnå, at en eller anden værdi (det betyder ikke nødvendigvis total sandsynlighed) er lig med én.

Hvis du skal indstille en retning, er det ofte mere praktisk at gøre dette med en enhedsvektor i absolut værdi, det vil sige, brug ikke ( , er orts på planet), men hvor er normaliseringsfaktoren. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ ${\displaystyle A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2))$

Når du for eksempel plotter grafer, hvis kun kurvens form er vigtig, normaliseres værdierne nogle gange med den maksimale værdi , nemlig værdierne multipliceret langs ordinaten med normaliseringsfaktoren ; så vil den største lodrette værdi være 1. Det praktiseres også at skifte til relative enheder (langs en eller begge akser) ved at gange med en eller anden karakteristisk værdi, f.eks . en sådan handling kan også kaldes normalisering, mens enheden (langs aksen ) svarer til den karakteristiske værdi. $y(x)$ ${\displaystyle y_{max))$ ${\displaystyle y_{max}^{-1))$ ${\displaystyle x_{0}^{-1))$ ${\displaystyle x/x_{0))$

Normalisering (og følgelig valget af en normaliseringsfaktor) kan være påkrævet ikke kun for ovennævnte fysiske tilfælde af bølgefunktionen, men også for egenfunktioner i en bredere klasse af problemer [3] . $\int |\psi |^{2}dV=1$

Der er begrebet "normal ligning af en ret linje " [4] . Dens mere velkendte ligning ( , , er konstanter) reduceres til en normal ved at gange med en normaliseringsfaktor , hvor tegnet er modsat det for . Efter multiplikation bliver summen af kvadraterne af tallene foran og til enhed. En lignende situation opstår med " planets normale ligning ". $Axe+By+C=0$ $EN$ $B$ $C$ ${\displaystyle \pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2))$ $C$ $x$ $y$

Noter

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Sandsynlighedsteori og matematisk statistik . Minsk, BSUIR (2003), se f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Kvantemekanik. Metodevejledning til workshoppen om kvantefysik. St. Petersborg: ITMO (2012), se 1.1.4. Normalisering af bølgefunktioner .
↑ N. N. Vorobyov Serieteori . Moskva: Nauka (1979), se kap. 8, § 3: Normaliserede og ortogonale funktioner .
↑ I. Maltsevskaya Normal (normaliseret) ligning af en ret linje: beskrivelse, eksempler, problemløsning , se Zaochnik uddannelsestjeneste.