Normalisering (algebra)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Normalisering er en kortlægning af elementerne i et felt eller en integralring til et ordnet felt med følgende egenskaber: $F$ $P$ $x\mapsto\|x\|$

1) og kun hvornår

\|x\|\geqslant 0

\|x\|=0

x=0

\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|

Hvis i stedet for 3) en stærkere betingelse er opfyldt:

3a) , så kaldes værdiansættelsen ikke-arkimedisk .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

Værdien kaldes elementets norm . Hvis det ordnede felt er feltet med reelle tal , omtales værdiansættelsen ofte som absolut værdi. $\|x\|$ $x$ $P$ $\mathbb {R}$

Normer og siges at være ækvivalente , hvis det svarer til . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$ $\|x\|_{1}<1$ $\|x\|_{2}<1$

Eksempler på normaliseringer

Normalisering under hvilken , for resten . En sådan normalisering kaldes triviel. $\|0\|=0$ $\|x\|=1$ $x$
Den sædvanlige absolutte værdi i feltet for reelle tal og modulet i feltet for komplekse tal er normaliseringer. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Lad være feltet af rationelle tal og lad være nogle primtal . Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en brøk , hvor og er ikke multipla . Det er muligt at definere følgende normalisering . Denne værdiansættelse er ikke-arkimedisk og kaldes den p-adiske værdiansættelse . $\mathbb {Q}$ $s$ $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ $-en$ $b$ $s$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

Ifølge Ostrovskys teorem er enhver ikke-triviel norm på ækvivalent med enten den absolutte værdi eller den p-adiske værdiansættelse. $\mathbb {Q}$ $|x|$

Norm-egenskaber

$|1|=|-\!1|=1$
For realværdi normalisering er egenskaben opfyldt (her er det antaget, at den sædvanlige norm er sat på feltet af reelle tal - tallets modul ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
En værdiansættelse med realværdi er ikke-arkimedisk, hvis og kun hvis der findes et positivt tal , således at for enhver sum af identitetselementer i feltet : $EN$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Lad denne betingelse være opfyldt. Så for alle elementer og fra feltet har vi: $x$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Tager vi roden fra begge dele og passerer til grænsen ved , får vi betingelse 3a). $n\til\infty$ Det modsatte er indlysende.

Det normerede felt som et metrisk rum

Det følger umiddelbart af egenskaberne 1-3, at ved at definere afstanden mellem to elementer i et reelt værdisat normeret felt som normen for forskellen , omdanner vi det til et metrisk rum , i tilfælde af en ikke-arkimedisk norm, til en ultrametrisk rum . Forskellige normer definerer forskellige metrikker. Tilsvarende normer definerer den samme topologi i . $F$ $\|xy\|$ $F$

Genopfyldning

Som med ethvert metrisk rum kan man introducere begrebet fuldstændighed og bevise , at ethvert værdsat felt er isomorfisk indlejret i et komplet værdisat felt , dvs. der er en isomorfisme . Normen i fortsætter normen i , det vil sige for hver af : , og er tæt i med hensyn til denne norm. Ethvert sådant felt er unikt defineret op til en isomorfi, der bevarer normer ( isometri ) og er identisk med ; det kaldes feltfuldførelse . $F$ $F^{*}$ $i:F\højrepil F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $x$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Eksempel. Fuldførelsen af feltet for rationelle tal med p-adiske metriske er feltet for p-adiske tal . ${\mathbb {Q}}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Eksponentiel normalisering

Lad være en kortlægning fra en multiplikativ feltgruppe til en eller anden velordnet abelsk gruppe , sådan at $v$ $K^{*}$

en)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

Det er også praktisk at omdefinere denne funktion til nul: . Gruppeoperationen på er defineret som følger: for enhver , er ordnet på en sådan måde, at den er større end alle elementer i den oprindelige gruppe. I dette tilfælde forbliver egenskaberne 1) og 2) gyldige. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $-en$ $\infty$

I Bourbakis terminologi kaldes en funktion med sådanne egenskaber en værdiansættelse . Også udtrykket "normalisering" for en sådan funktion bruges af Atiyah og McDonald [1] og Leng. [2] Nogle forfattere efterlader dog udtrykket "normalisering" for en funktion, der har de egenskaber, der er anført i begyndelsen af denne artikel, og Bourbaki-vurderingen kaldes eksponentiel værdiansættelse . Udvalget af værdier for kortlægningen kaldes værdiansættelsesgruppen , og sættet af de elementer i feltet , som værdiansættelsesringen (notation - ), er for, er let at verificere, at det faktisk er en ring. $v$ $x$ $K$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

Diskret normalisering er en eksponentiel normalisering, som er en mapping til den additive gruppe af heltal. I dette tilfælde kaldes vurderingsringen den diskrete vurderingsring .

Noter

↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra, s. 115.
↑ Leng S. Algebra, s. 337.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. — M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.