Ikke-desarguesisk geometri
En ikke-Desarguesisk geometri er en projektiv geometri af planet, hvor Desargues' sætning muligvis ikke holder. I dette tilfælde kaldes det projektive plan et ikke-desarguesisk (projektivt) plan.
Eksempler
- Cayley-planet er det projektive plan over Cayley-algebraen .
Afledning fra aksiomer
Desargues' sætning kan ikke bevises i planet på grundlag af kun de projektive aksiomer af planet uden at påberåbe sig kongruensaksiomer eller uden at påberåbe sig de rumlige aksiomer. For eksempel, i planets geometri, konstrueret på basis af alle plane systemer af Hilberts aksiomer , med undtagelse af trekanters kongruensaksiom , kan Desargues' sætning ikke opnås som en konsekvens af dem. Geometrien af dette plan er ikke-desarguesisk; det kan ikke betragtes som en del af den rumlige geometri, hvor alle Hilbert-systemets aksiomer er opfyldt, bortset fra det specificerede kongruensaksiom. Med andre ord, et ikke-desarguesisk projektivt plan indlejres ikke i projektive rum af højere dimensioner.
Muligheden for at konstruere en ikke-Desarguesisk geometri af planet gør det muligt at klarlægge uafhængigheden af forskellige grupper af aksiomer i Hilbert-systemet, samt at tydeliggøre rollen af Desargues' sætning som et selvstændigt yderligere aksiom for plan projektiv geometri.