Ikke-arkimedisk geometri

Ikke-arkimedisk geometri er et sæt af geometriske forslag, der stammer fra de systematiske grupper af aksiomer: forekomst, rækkefølge, kongruens og parallelisme af Hilberts aksiomatiske system af euklidisk geometri , og ikke relateret til kontinuitetsaksiomerne (med Arkimedes' aksiomer og fuldstændighed) ). I en snæver forstand beskriver ikke-arkimedisk geometri de geometriske egenskaber af en ret linje, hvor Arkimedes-aksiomet (ikke-arkimedisk lige linje) ikke er sandt. For at studere geometriske sammenhænge i ikke-arkimedisk geometri introduceres segmentregningen - et ikke-arkimedisk numerisk system, betragtet som et særligt komplekst numerisk system. Begreberne for et segment, relationer mellem segmenter, addition og multiplikation af segmenter er defineret. Især introducerer vi det Desarguesiske talsystem er et ikke-arkimedisk system, hvor multiplikationen af segmenter er ikke-kommutativ. Ved hjælp af disse numeriske systemer i ikke-arkimedisk geometri konstrueres teorien om figurernes lighed , teorien om områder osv..

Egenskaber

Teorien om arealer af polygoner, som ligger til grund for teorien om at måle arealer af figurer på et ikke-arkimedisk plan, er baseret på begrebet lige areal af polygoner ved addition, hvilket i ikke-arkimedisk geometri er mere generelt i forhold til til begrebet lige sammensætning (lige areal ved nedbrydning i par af kongruente trekanter).

I ikke-arkimedisk geometri er der trekanter, der har henholdsvis lige store mål af højder og baser, lige i komplement, men ikke af samme sammensætning. Polygoner, der er lige i komplement i ikke-arkimedisk geometri, har samme areal, og to polygoner med samme arealmål er altid lige i komplement. For retvinklede trekanter i ikke-arkimedisk geometri gælder Pythagoras sætning .

Ved hjælp af segmentregningen i ikke-arkimedisk rum introduceres et system af affine (eller projektive) koordinater. For eksempel vælges to lige linjer på planet - koordinatakserne, der går gennem et fast punkt, enkelte segmenter er markeret på hver af akserne. I dette system af affine koordinater er ligningen for en ret linje lineær, dvs. den har formen

ax+by+c=0

hvor , er koordinaterne for punkter på linjen, , , er faste tal (segmenter), og multiplikationen af faste segmenter med segmenter og sker altid til venstre, og generelt set ligningen $x$ $y$ $-en$ $b$ $c$ $x$ $y$

xa+yb+c

repræsenterer ikke en linje i dette koordinatsystem.

Systemet af geometriske påstande, der udgør ikke-arkimedisk geometri, kan implementeres på en model fra et endeligt sæt af grundlæggende objekter: "punkter", "linjer" osv. (her, på hver "linje" eksistensen af et uendeligt antal "point" antages ikke). Konstruktionen af numeriske modeller af ikke-arkimedisk geometri fører til de såkaldte transfinite (ikke-arkimediske) Hilbert-rum. Sådan et talrum på linjen kaldes et lineært veronesisk rum .

Ansøgninger

Betydningen af ikke-arkimedisk geometri er bestemt af dens rolle i studiet af uafhængigheden og konsistensen af Hilberts aksiomatiske system i det euklidiske rum . Implementeringen af aksiomerne for forekomst, orden, kongruens og parallelisme på den numeriske model af grupper beviser både deres uafhængighed af fuldstændighedens aksiomer og konsistensen af selve ikke-arkimedisk geometri. På den anden side tydeliggøres også kontinuitetsaksiomernes rolle i konstruktionen af euklidisk geometri baseret på Hilberts aksiomer. Især uden kontinuitetsaksiomerne er det umuligt at bevise ækvivalensen af det euklidiske aksiom for parallelisme til påstanden om, at summen af de indre vinkler i enhver trekant er lig med to rette vinkler.

En numerisk realisering af ikke-arkimedisk geometri, hvor den kommutative multiplikationslov ikke er nødvendig, spiller også en vigtig rolle i konstruktionen af ikke-pascal geometri (se også Nedezargesisk geometri ).

Se også

Litteratur

Hilbert, D., Foundations of Geometry , trans. fra tysk., M.-L., 1948.