Multipol

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. november 2016; checks kræver 24 redigeringer .

Multipoler (fra latin multum - mange og græsk πόλος - pol) - visse konfigurationer af punktkilder ( ladninger ). De enkleste eksempler på en multipol er en punktladning, en nul-ordens multipol; to ladninger modsat i fortegn, lige i absolut værdi - dipol eller multipol af 1. orden; 4 ladninger af samme absolutte størrelse placeret i hjørnerne af et parallelogram, således at hver side af det forbinder ladninger af det modsatte fortegn (eller to identiske, men modsat rettede dipoler) - en quadrupol , eller en 2. ordens multipol. Navnet multipol omfatter betegnelsen for antallet af ladninger (på latin), der danner multipolen, fx betyder octupol (octu-8) at multipolen omfatter 8 ladninger [1] .

Valget af sådanne konfigurationer er forbundet med udvidelsen af feltet [2] fra komplekse, pladsbegrænsede systemer af feltkilder (inklusive tilfældet med en kontinuerlig fordeling af kilder) til multifelter - den såkaldte 'multipolekspansion' [3 ] .

Feltet kan betyde et elektrostatisk eller magnetostatisk felt, såvel som felter, der ligner dem (for eksempel det Newtonske gravitationsfelt) [4] .

En sådan nedbrydning kan ofte bruges til en omtrentlig beskrivelse af feltet fra et komplekst system af kilder i en stor (meget større end størrelsen af dette system selv) afstand derfra; i dette tilfælde er det vigtigt, at multipolfeltet for hver næste rækkefølge aftager med afstanden meget hurtigere end de foregående, så du kan ofte begrænse dig til nogle få (afhængigt af afstanden og den nødvendige nøjagtighed) termer af (lavere ordener) ) flerpolet ekspansion. I et andet tilfælde viser multipoludvidelsen sig af forskellige årsager at være praktisk, selv når alle ordrer er summeret (så er det en uendelig række); i dette tilfælde giver det et nøjagtigt udtryk for feltet ikke kun i det store hele, men i princippet i enhver afstand fra kildesystemet (med undtagelse af dets indre områder).

Ud over statiske (eller tilnærmelsesvis statiske) felter taler man i forbindelse med multipolmomenter ofte om multipol stråling - stråling anses for at skyldes ændringen i tid af emittersystemets multipolmomenter. Dette tilfælde adskiller sig ved, at felterne af forskellige ordener falder lige hurtigt med afstanden, idet de adskiller sig i afhængigheden af vinklen.

Multipol udvidelse af et skalarfelt

System af punktafgifter i hvile

Elektrostatisk potentiale af et system af ladninger i et punkt $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

hvor er ladningerne og er deres koordinater. At udvide dette potentiale til en Taylor-serie , får vi $q_{i}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\sum \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

kaldet multipoludvidelsen , hvor notationen introduceres

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ sum \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\partial ^{l)){\partial R^{\alpha _{1))\dots \partial R^{\alpha _{l))))\venstre({\frac {1}{R} }\ret)

-feltpotentialer kaldes rækkefølgen af termen for multipoludvidelsen. 0. ordensleddet har formen $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

som falder sammen med potentialet for en punktladning (en monopols potentiale). 1. ordens led er lig med $Q=\sum \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

hvor er en enhedsvektor rettet langs . Hvis vi introducerer dipolmomentet for ladningssystemet som , så vil systemet falde sammen med potentialet for punktdipolen . Potentialet i 1. ekspansionsorden i multipoler har således formen ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\venstre({\frac {1}{R^{3}}}\højre).

Hvis , så afhænger dipolmomentet ikke af valget af oprindelse. Hvis , så kan du vælge et koordinatsystem centreret i punktet , så vil dipolmomentet blive lig med nul. Et sådant system kaldes et ladecentersystem. Næste ekspansionsled har formen $q=0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

hvor er quadrupolmomentet af ladningssystemet. Lad os introducere quadrupol momentmatrixen . Så antager potentialet i 2. ekspansionsrækkefølge i multipoler formen $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R)))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\venstre({\frac {1}{R^{4}}}\right ).

Matrixen er sporløs , dvs. Derudover er den symmetrisk , dvs. Derfor kan det reduceres til en diagonal form ved at rotere akserne for de kartesiske koordinater. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

I det generelle tilfælde kan th-ordens bidrag til potentialet repræsenteres som: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

hvor er feltmomentet for systemet af ladninger, som er en irreducerbar tensor af th orden. Denne tensor er symmetrisk med hensyn til ethvert indekspar og forsvinder, når den foldes over et hvilket som helst indekspar. $d^{{\alpha _{1}\dots \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Distribueret afgiftssystem

Hvis ladningen er fordelt med en vis tæthed , og derefter overgår til den kontinuerlige grænse (eller direkte afledt af de oprindelige formler) i formlerne for den diskrete fordeling, kan man også opnå en multipolekspansion i dette tilfælde: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

hvor er volumen, hvori den distribuerede ladning er placeret. Så har multipolmomenterne formen: $V$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

Formlerne for multipolpotentialerne forbliver uændrede. Tilfældet med et diskret system af ladninger kan opnås ved at erstatte deres fordelingstæthed, som kan udtrykkes i form af δ-funktioner :

\rho ({\mathbf {r}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

Ved beregning af potentialet er formlen nyttig , hvor er Legendre polynomier , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\right)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Multipol udvidelse af den elektrostatiske feltstyrke

Styrken af det elektrostatiske felt af ladningssystemet er lig med gradienten af det elektrostatiske potentiale taget med det modsatte fortegn

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Ved at erstatte styrken af den multipolede udvidelse af potentialet i denne formel, opnår vi den multipolede udvidelse af styrken af det elektrostatiske felt

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

hvor

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\sum \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^ {l+1}}{\partial R_{i}^{\alpha _{0}}\partial R_{i}^{\alpha _{1}}\dots \partial R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\venstre({\frac {1}{R}}\right)

- elektrisk felt - felter. $2^l$

Især har feltet af en punktladning (monopol) formen:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

som svarer til Coulombs lov .

Felt af en punktdipol:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Felt af en punkt quadrupol:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Således har det elektriske felt i systemet af ladninger i hvile i 2. rækkefølge af multipoludvidelsen formen:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\venstre({\frac {1}{R^{5}} }\ret).

Fra denne formel er det let at opnå den normale (radiale) komponent af det elektriske felt

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\venstre({\frac {1}{R^{5}}}\højre).

Den tangentielle komponent kan findes ved at trække normalen fra

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\venstre({\ frac {1}{R^{5}}}\right).

Hvis den normale (radiale) komponent afspejler en sfærisk symmetrisk ladningsfordeling, så afspejler den tangentielle komponent et ikke-sfærisk bidrag til det elektrostatiske felt . Kvadrupolmomentet er således interessant til undersøgelse, ikke kun når systemets samlede ladning og dipolmoment er lig med nul, men også når Coulomb-bidraget er ikke-nul. Derefter, i overensstemmelse med formlen for den tangentielle komponent, karakteriserer kvadrupolmomentet graden af ikke-sfæriskhed af det elektriske felt i ladecentersystemet. Sådan blev de elektriske quadrupol-momenter af atomkerner målt , og man konkluderede, at de ikke har nogen sfærisk symmetri.

Multipol ekspansion af et statisk magnetfelt

Vektorpotentialet for ladninger, der bevæger sig med konstant hastighed, har formen:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

Det nedbrydes på samme måde til en multipolekspansion:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}).

Serien starter med , da der ikke er nogen magnetiske ladninger (magnetiske ladninger er ikke fundet i fysikken af fundamentale vekselvirkninger, selvom de kan bruges som model til at beskrive fænomener i faststoffysik). Dette udtryk svarer til en magnetisk dipol (en punktcirkulær strømførende kontur): $l=1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

hvor er det magnetiske moment af strømsystemet (bevægende ladninger): ${\mathbf {m))$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{jeg}]

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk encyklopædi . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. Kapitel II. Stationære elektromagnetiske felter // Forelæsninger om elektrodynamik. Tutorial. - 2. udgave - M . : Forlag af UNC DO, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Noter

↑ Prokhorov A. M. (red.). Fysisk encyklopædi . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Selvfølgelig kan det præsenterede felt være både potentiale og spænding.
↑ Denisov V.I. Kapitel II. Stationære elektromagnetiske felter // Forelæsninger om elektrodynamik. Tutorial. - 2. udgave - M . : Forlag af UNC DO, 2007. - 272 s. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ For felter, som gravitationelle, der ikke har negative ladninger, indeholder multipoludvidelsen kun lige ordener. I dette tilfælde betragtes negative ladninger i multipoler af lige orden (for eksempel i en quadrupol) i dette tilfælde rent formelt.
↑ Li Tsung-dao Matematiske metoder i fysik. - M.: Mir, 1965. - s.146