Modulær gruppe

Den modulære gruppe er gruppen af alle Möbius-transformationer af formen $\Gamma$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

hvor er heltal , og . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Modulgruppen identificeres med faktorgruppen . Her er gruppen af matricer ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\))$ $SL(2,\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

hvor er heltal , . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

Den modulære gruppe er en diskret gruppe af transformationer af det øvre komplekse halvplan ( Lobachevsky-planet ) og tillader en repræsentation ved generatorer ${\displaystyle H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\))$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapsto z+1

og relationer , det vil sige er et frit produkt af en cyklisk gruppe af orden 2 genereret af , og en cyklisk gruppe af orden 3 genereret af . $S^{2}=(ST)^{3}=1$ $S$ $ST$

For en vilkårlig transformation fra en modulær gruppe gælder følgende lighed: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Da den imaginære del er ikke-nul, og tallene og er heltal ikke lig med nul på samme tid, adskilles værdien fra nul (den kan ikke være vilkårligt lille). Det betyder, at der i ethvert punkts kredsløb er et, hvor den imaginære del når sit maksimum. $z$ $c$ $d$ $|cz+d|^{2}$

Det grundlæggende domæne (kanonisk) i en modulær gruppe er det lukkede domæne

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

Det er let at kontrollere ved hjælp af (1), at transformationer af modulgruppen ikke øger den imaginære del af punkterne fra . Det følger heraf, at for at to punkter skal høre til , skal deres imaginære del være den samme: . Følgende transformationer og punkter opfylder disse betingelser: $D$ $z,\;g(z)$ $D$ $|cz+d|^{2}=1$

$g(z)=z,\;z$ - ethvert punkt;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
$g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

Især alle punkter i regionen har en triviel stabilisator bortset fra tre: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Derudover følger det heraf, at når det øverste halvplan faktoriseres af modulgruppens handling, vises de indre punkter injektivt, mens grænserne er limet til punkterne "spejler" til dem i forhold til linjen . $D$ $\mathrm {Re} \,z=0$

For at vise, at ethvert punkt fra er kongruent med et eller andet punkt fra , betragter vi i dets kredsløb genereret af transformationerne og , punktet med den maksimale imaginære del, og ved hjælp af et heltalsskift skifter vi, så den reelle del af dets billede bliver nej. mere end 1/2 i absolut værdi. Så hører billedet til (ellers, hvis dets modul var mindre end 1, ville det være muligt strengt at øge den imaginære del ved hjælp af en transformation). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

Det er også nemt at vise, at transformationerne og generere hele den modulære gruppe. Lad være en vilkårlig modulær transformation og være et indre punkt i . Som beskrevet ovenfor, lad os finde en transformation, der oversættes til området . Punkterne og ligger i , og er intern, derfor . Så ligger transformationen i punktstabilisatoren , hvilket er trivielt. Derfor ligger i gruppen genereret af transformationerne og . $S$ $T$ $g$ $z$ $D$ $g'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ ${\displaystyle g=(g')^{-1))$ $S$ $T$

Interessen for den modulære gruppe er forbundet med studiet af modulære funktioner , hvis Riemann-overflade er kvotientrummet , identificeret med det grundlæggende domæne af den modulære gruppe. Det fundamentale domæne har et begrænset område (i betydningen Lobachevsky-geometri), det vil sige, at den modulære gruppe er en fuchsisk gruppe af den første slags. $H/\,\Gamma$ $G$ $G$