Ising model

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. oktober 2013; checks kræver 30 redigeringer .

Ising-modellen er en matematisk model af statistisk fysik designet til at beskrive magnetiseringen af et materiale.

Beskrivelse

Hvert toppunkt i krystalgitteret (ikke kun tredimensionelle, men også en- og todimensionale tilfælde tages i betragtning) tildeles et tal kaldet spin og lig med +1 eller -1 ("felt op" / "felt ned") . Hver af de mulige muligheder for arrangementet af spins (hvor er antallet af gitteratomer) tildeles den energi, der er et resultat af den parvise interaktion mellem spins af naboatomer: $2^N$ $N$

$E(S)=-J\sum _{{i\sim j}}S_{i}S_{j}\,,$

hvor er interaktionsenergien (i det enkleste tilfælde den samme for alle par af naboatomer). Nogle gange betragtes et eksternt felt også (antages ofte at være lille): $J$ $h$

$H=-J\sum _{i\sim j}S_{i}S_{j}-h\sum _{i}S_{i}.$

Derefter, for en given reciprok temperatur , betragtes Gibbs-fordelingen på de resulterende konfigurationer : sandsynligheden for en konfiguration antages at være proportional med , og adfærden af en sådan fordeling studeres for et meget stort antal atomer . $\beta =1/k_{B}T$ ${\displaystyle e^{-\beta E(S)))$ $N$

For eksempel, i modeller med dimensioner større end 1, finder en andenordens faseovergang sted : ved tilstrækkeligt lave temperaturer vil de fleste spins af en ferromagnet (at ) være orienteret (med en sandsynlighed tæt på 1) på samme måde , og ved høje temperaturer vil spins næsten helt sikkert "op" og "ned" være næsten lige store. Den temperatur, ved hvilken denne overgang sker (med andre ord, hvor materialets magnetiske egenskaber forsvinder) kaldes kritisk eller Curie-punkt . I nærheden af faseovergangspunktet divergerer en række termodynamiske karakteristika. Erfaringen viser, at divergensen har en universel karakter og kun bestemmes af systemets symmetri. For første gang blev kritiske eksponenter for divergenser opnået for den todimensionelle Ising-model i 40'erne af L. Onsager . For andre dimensioner udføres undersøgelser ved hjælp af computersimulering og renormaliseringsgruppemetoder . Begrundelsen for brugen af renormaliseringsgruppen i dette tilfælde er Kadanoffs blokkonstruktion og den termodynamiske lighedshypotese . $J>0$

Oprindeligt introduceret for at forstå ferromagnetismens natur, har Ising-modellen befundet sig i centrum for forskellige fysiske teorier relateret til kritiske fænomener, væsker og opløsninger, spin-briller, cellemembraner, immunsystemmodellering , forskellige sociale fænomener osv. Hertil kommer, denne model fungerer som en prøveplads til at teste metoder til numerisk simulering af forskellige fysiske fænomener.

Præcise løsninger blev opnået for de en-dimensionelle og to-dimensionelle Ising-modeller: for den en-dimensionelle model af Ising selv, for den to-dimensionelle model af Onsager i 1944 [1] .

En-dimensionel Ising-model

I tilfælde af én dimension kan Ising-modellen repræsenteres som en kæde af interagerende spins. En nøjagtig løsning blev fundet for en sådan model, men i det generelle tilfælde har problemet ikke en analytisk løsning.

Algoritme til implementering af Ising-modellen ved Monte Carlo-metoden på en computer

Opret et gitter af spins (todimensionelt array), spindene er vilkårligt orienterede.
Vælg tilfældigt en af gittercellerne, slet værdien i den.
Beregn energierne af konfigurationerne, når denne celle er fyldt med spins op og ned (eller for alle mulige tilstande, hvis der er mere end to af dem).
Vælg en af mulighederne for det "slettede" spin tilfældigt, med en sandsynlighed proportional med , hvor er energien i den tilsvarende tilstand (da alle de udtryk, der ikke påvirker det givne spin, er de samme, faktisk kun summer over naboer skal beregnes). ${\displaystyle e^{-\beta E(S)))$ $E(S)$
Vi vender tilbage til punkt 2; efter at et tilstrækkeligt antal iterationer er blevet udført (afgøre, at dette er en separat og vanskelig opgave), stopper løkken.

Ansøgninger

I 1982 beviste Hopfield isomorfien af Ising-modellen og tilbagevendende modeller af neurale netværk [2] .

D-Wave Systems kvantecomputer er baseret på Ising-modellen. Computerens effektivitet rejser dog spørgsmål, hvilket var årsagen til ny forskning, hvis formål er korrekt at sammenligne klassiske algoritmer og algoritmer for DWave-computere. Det viste sig, at der er problemer, hvor en adiabatisk kvantecomputer bestemt ikke er mere effektiv end en klassisk [3] .

Se også

Gittermodel (fysik)
Hopfield neurale netværk
Stanislav Smirnov - vinder af Fields-prisen (2010) "for at bevise den konforme invarians af todimensionel perkolation og Ising-modellen i statistisk fysik"

Noter

Kommentarer

Kilder

↑ Gelfer Ya. M. , Termodynamikkens historie og metodik og statistisk fysik, 1981 , s. 426.
↑ Khaykin S., 2006 , s. 79.
↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , s. 6.

Litteratur

Bøger

Gelfer Ya. M. Termodynamiks og statistisk fysiks historie og metodik. - 2. udg., revideret. og yderligere - M . : Higher School , 1981. - 536 s.
Belavin A.A. , Kulakov A.G. , Usmanov R.A. Forelæsninger om teoretisk fysik . — M .: MTSNMO , 2001. — 224 s. — ISBN 5-900916-91-X .
Baxter R. Præcis opløselige modeller i statistisk mekanik. — M .: Mir , 1985.
Khaikin S. Neurale netværk: et komplet kursus. - M . : Forlaget "Williams", 2006. - 1104 s. — ISBN 5-8459-0890-6 .
Ziman J. Principper for teorien om stive kroppe. - M . : Mir, 1974. - 472 s.

Videnskabelige artikler

Meilikhov E.Z. Ernst Isings tragiske og lykkelige liv // Nature. - 2006. - Nr. 7 .
Stepanov IA Eksakte løsninger af de endimensionelle, todimensionelle og tredimensionelle ising-modeller // Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. - 2012. - Bd. 6, nr. 3 . - S. 118-122. gratis online..
Katzgraber HG , Hamze F. , Andrist SR Glasagtige kimærer kunne være blinde for kvantehastighedsstigning: Designing Better Benchmarks for Quantum Annealing Machines // Phys. Rev. X. - 2014. - Vol. 4. - S. 1-8. - doi : 10.1103/PhysRevX.4.021008 .

Afsnit af statistisk fysik
Statistisk mekanik kvantestatistikker Molekylær fysik Fysisk kinetik Statistisk feltteori
Fysik af kondenseret stof	Faststoffysik Fysik af væsker Fysik af atomer og molekyler Nanostrukturers fysik