Bloker Hamiltonian

Blokken Hamiltonian er en Hamiltonian , der beskriver den kritiske opførsel af en magnet nær punktet for en andenordens faseovergang .

Emne

En magnet betragtes som i nærheden af Curie-punktet . En magnets opførsel i dette område bestemmes af divergensen af en række termodynamiske egenskaber (såsom varmekapacitet , modtagelighed ). Den termodynamiske hypotese om lighed forbinder alle divergenser med en ubegrænset vækst af korrelationslængden . Korrelationslængden måles direkte ved hjælp af neutronspredningsforsøg. Formålet med denne artikel er at beskrive, hvordan man opnår en Hamiltonian, der bekvemt ville definere systemet under forhold med stigende korrelationer.

Cellular Hamiltonians

Da de kritiske fænomener og dannelsen af et krystalgitter og indre atomskaller på ingen måde er forbundet med hinanden, vil vi betragte det sidste som givet. Hvis vi antager, at de kritiske fænomener skyldes elektronspins i stor skala , finder vi ud af, at vi efter al sandsynlighed ikke behøver at kende båndstrukturen og mange andre detaljer - vi behøver kun at kende deres generelle effekt på interaktion mellem elektronspin. I dette tilfælde kan der foretages endnu stærkere forenklinger. Overvej klassiske spins, en i hver elementær celle i et givet krystalgitter med en kendt spin-spin-interaktion. Vi vil negligere kvantenaturen, elektronernes bevægelse og mange andre detaljer. Eksempler på modeller, der opererer med sådanne antagelser, er Ising-modellen og Heisenberg-modellen .

Vi tildeler hver celle en spin-variabel , som tjener som et mål for det samlede spin af cellen c. I alt indeholder gitteret celler og følgelig spin-variable. Vi vil kalde disse variabler for cellespin. Spin-energien er en funktion af spin-variabler. Dette er cellespin Hamiltonian. Lad os kalde det cellen Hamiltonian. $\sigma _{{c}}$ $L^{3}$ $L^{3}$ ${\hat {H}}[\sigma ]$

Ising model

Denne model er karakteriseret ved en celle Hamiltonian af formen

${\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum _{{c}}\sum _{{r}}'(\sigma _{{c}}- \sigma _{{c+r}})^{2},\qquad (1)$

hvor summen over r kun tages over de nærmeste naboer til celle c. Spin-variabler kan kun have to værdier . Hamiltonian (1) tillader den enkleste måde at afspejle det faktum, at energien for identisk orienterede spin er mindre end for spins orienteret på den modsatte måde. J - " bytte energi ". $\sigma _{{c}}=\pm 1$

Heisenberg-modellen

Heisenberg-modellen er en generalisering af Ising-modellen til det tilfælde, hvor spindet kan orienteres på en vilkårlig måde. For at beskrive hvert spin har vi brug for en vektor

$\sigma _{{c}}=(\sigma _{{1c}},\sigma _{{2c}},\sigma _{{3c}}).\qquad (2)$

For , det sædvanlige skalarprodukt introduceres, og udseendet af Hamiltonian (1) bevares. $\sigma _{{c}}$

XY-model

XY-modellen er et tilfælde mellem Ising-modellen og Heisenberg-modellen. Det tjener til at beskrive magneter med spin hovedsageligt orienteret i ét plan.

Konstruktion af blokken Hamiltonian, Kadanoff-transformationen

Under forhold med en stigning i korrelationslængden er det rimeligt at antage, at den kritiske opførsel af en magnet ikke vil afhænge af spin af specifikke elementære celler, men snarere vil blive bestemt af gennemsnitsværdierne af spin af hele regioner af prøven under undersøgelse. Lad os konstruere en blok Hamiltonian afhængig af sådanne midler. En sådan konstruktion kaldes Kadanoff- transformationen .

Den første måde

Lad os konstruere en blok Hamiltonian, der beskriver interaktionen mellem blokspins. For at gøre dette opdeler vi krystallen i kubiske blokke med størrelsen af elementære celler, hvor d er dimensionen af det rum, hvor systemet studeres. For hver blok definerer vi blokspin som summen af cellespin divideret med . Parametrene for blokken Hamiltonian opsummerer de væsentlige detaljer om systemets opførsel på skalaen af b gitterkonstanter. $b^{d}$ $b^{d}$

Lad sandsynligheden for at finde et system med en given fordeling af spins over celler lig med

$P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)$

Så vil sandsynligheden for at finde et system med en given fordeling af blokspins blive udtrykt som

$P'[\sigma ]\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,x}}\delta (\sigma _{{i, x}}-b^{{-d}}\sum _{{c}}^{{x}}\sigma _{{i,c}})\prod _{{j,c}}d\sigma _{{j,c}}\equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (4)$

denne formel kan tages som definitionen af blokken Hamiltonian . ${\hat {H'}}[\sigma ]$

$K_{{b}}{\hat {H}}[\sigma ]={\hat {H'}}[\sigma ]\qquad (5)$

Kadanoff-transformationens egenskab er indlysende

$K_{{b_{{1}}}}K_{{b_{{2}}}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{{b_{{1}}*b_{{2}} }}{\hat {H}}[\sigma ].\qquad (6)$

Den anden måde

Betragt cellen Hamiltonian som en funktion af Fourier-komponenterne ${\hat {H}}[\sigma ]$ $\sigma _{{k}}$

$\sigma _{{c}}=L^{{-d/2}}\sum _{{k}}e^{{ik*c}}\sigma _{{k}},\quad \sigma _ {{k}}=L^{{-d/2}}\sum _{{c}}e^{{-ic*k}}\sigma _{{c}}.\qquad (7)$

Vi introducerer nu blokken Hamiltonian på følgende måde

$P'\sim \int e^{{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}}\prod _{{i,k>\Lambda }}d\sigma _{{i,k}} \equiv e^{{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T)),\qquad (8)$

i dette tilfælde er blokspin defineret som

$\sigma (x)=L^{{-d/2}}\sum _{{k<\Lambda }}e^{{ik*x}}\sigma _{{k}},\qquad (9)$

og beskriver spin-konfigurationen på skalaer op til $b\sim \Lambda ^{{-1}}$

Bemærk

Den første og anden måde at definere blokken Hamiltonian på er ikke fuldstændig ækvivalente og definerer formelt forskellige objekter.

Litteratur

1. Ma Sh. Moderne teori om kritiske fænomener. — M.: Mir, 1980. — 297 s.

2. A. N. Vasil'ev, Kvantefelt-renormaliseringsgruppe i teorien om kritisk adfærd og stokastisk dynamik. - St. Petersborg: PNPI Publishing House, 1998. - 774 s. — ISBN 5-86763-122-2