Flerværdilogik

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. februar 2021; checks kræver 19 redigeringer .

Flerværdilogik er logik, hvor logiske udtryk kan tage værdier fra et sæt, der indeholder mere end to elementer. Nogle af disse værdier betragtes dog som sande . I disse egenskaber adskiller flerværdilogik sig fra Aristoteles ' klassiske logik , hvor logiske udtryk kun kan tage en af to mulige værdier - "sand" eller "falsk". Klassisk to-værdi logik kan dog udvides til n-værdi logik med n > 2. De mest populære i litteraturen er tre-værdi logik (for eksempel logikken af Jan Lukasiewicz og Stephen Kleene , som tager værdierne "sand", "falsk" og "ukendt"), finit -valued (kan have mere end tre værdier) og uendelig -valued logik (dette inkluderer probabilistisk logik med en kontinuerlig skala af sandhedsværdier fra 0 til 1, samt fuzzy logic ).

Historie

Den første kendte videnskabsmand, der ikke fuldt ud accepterede og stolede på loven om den udelukkede midterste , var Aristoteles (som ironisk nok er blevet krediteret som "den klassiske logiks fader"). Aristoteles erkendte det faktum, at hans love ikke altid kunne anvendes på fremtidige begivenheder, men han generaliserede ikke to-værdi logik til det n-dimensionelle tilfælde for at eliminere unøjagtigheder.

Indtil slutningen af det 19. århundrede fulgte matematikerne lovene i den aristoteliske logik , som var baseret på loven om den udelukkede midterste . Men i det 20. århundrede begyndte interessen for logik med mange værdier at vokse. Så f.eks. begyndte den polske matematiker og filosof Jan Lukasiewicz at udvikle det første system med mange værdsatte logik ved at bruge en tredje betydning - "neutral" for at overvinde paradokset ved et havslag formuleret af Aristoteles . I mellemtiden præsenterede den amerikanske matematiker Emil Post et papir, der beskrev muligheden for at indføre yderligere sandhedsværdier for . Lidt senere kunne Lukasiewicz i samarbejde med Alfred Tarski gentage Posts succes ved at formulere de grundlæggende principper for n-værdilogik for . I 1932 sammenfattede Hans Reichenbach disse principper med . $n>2$ $n>2$ $n\rightarrow \infty$

I 1932 viste Kurt Gödel , at den intuitionistiske calculus ikke er endelig-dimensionel og introducerede sit eget system (Gödel calculus, eng. Gödel logic ) som et mellemled mellem klassisk logik og intuitionistisk. Gödels calculus blev senere kendt som "mellemliggende" logik (eng. intermediate logic ).

Grundlæggende information

Hovedartikler: Logik med tre værdier, Logik med fire værdier, logik med ni værdier

For at beskrive mange-værdisatte propositionelle logikker bruges de såkaldte logiske matricer [1] [2] , det vil sige algebraiske systemer af formen , hvor er universet, er funktionelle symboler, er et étsteds prædikatsymbol. Elementerne i universet svarer til logiske værdier, og de funktionelle symboler svarer til logiske forbindelser (operationer), så signaturudtrykkene er logiske formler. Hvis den logiske formel er sådan, at , så kaldes den en gyldig eller tautologi af den givne logiske matrix, mens prædikatet definerer en delmængde af logiske værdier, der behandles som sande. Således opbygges matrixrepræsentationer af propositionelle logikker - sæt af tautologier i et sprog bestående af variabelnavne og bindeled. ${\mathfrak {M}}=(V,f_{1},f_{2},...,f_{l},{\mathcal {D}})$ $V$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{l))$ $\mathcal{D}$ $\sigma ({\mathfrak {M}})$ $A(x_{1},x_{2},...,x_{k})$ ${\mathfrak {M}}\models \forall {x_{1}}\forall {x_{2}}{..}\forall {x_{k}}{\mathcal {D}}(A( x_{1},x_{2},...,x_{k}))$ $\mathcal{D}$

Enhver funktion , inklusive den, der udtrykkes ved en flerværdilogisk formel, hvor , kan repræsenteres som en perfekt disjunktiv normalform (PDNF) af flerværdilogik, som følger [2] : $f:E_{n+1}^{k}\rightarrow E_{n+1}$ ${\displaystyle E_{n+1}=\{0,1,2,...,n\))$

f(x_{1},x_{2},..,x_{k})=\bigvee _{(a_{1},a_{2},..,a_{k})\i E_ {n+1}^{k}}f(a_{1},a_{2},..,a_{k})\wedge \left(\bigwedge _{m=1,..,k}J_{ a_{m}}(x_{m})\right)

hvor er sammenhængsoperationen : $\wedge$

x\wedge y=min(x,y),

symbolet står for disjunction operation : $\vee$

x\vee y=max(x,y),

og Rosser-Turquette-operatørerne: $J_{i}(x)$

J_{i}(x)={\begin{cases}n,&x=i,\\0,&x\neq i.\end{cases))

K 3 Kleene logik og P 3 Priest logik

Kleenes ubestemthedslogik (nogle gange betegnet ) og Priests "paradokslogik" introducerer en tredje "ubestemt" eller "mellemliggende" betydning af I. Sandhedstabeller for negation (¬), konjunktion (˄), disjunktion ( ˅), implikation (→) og ækvivalenter (↔), ser sådan ud: $K_{3}$ $K_{3}^{S}$

¬
T	F
jeg	jeg
F	T

∧	T	jeg	F
T	T	jeg	F
jeg	jeg	jeg	F
F	F	F	F

∨	T	jeg	F
T	T	T	T
jeg	T	jeg	jeg
F	T	jeg	F

→K	T	jeg	F
T	T	jeg	F
jeg	T	jeg	jeg
F	T	T	T

↔K	T	jeg	F
T	T	jeg	F
jeg	jeg	jeg	jeg
F	F	jeg	T

Forskellen mellem de to logikker ligger i den forskellige definition af tautologien for algebraen af propositioner (Tautologi er en identisk sand proposition, der er invariant med hensyn til værdierne af dens komponenter). I B er kun T defineret som sandt, mens både T og I er defineret som sandt. I Kleene logik er I en "ubestemt" størrelse, der ikke er "sand" eller "falsk"; i Priests logik er I en "omdefineret" størrelse, der både er "sand" og "falsk". indeholder ikke tautologier, men indeholder de samme tautologier som klassisk to-værdilogik. $K_{3}$ $P_{3}$ $K_{3}$ $P_{3}$

Bochvars interne logik med tre værdier

Et andet eksempel er Bochvars "interne" logik med tre værdier , opnået i 1938 af Dmitry Anatolyevich Bochvar. Det kaldes også svag tre-værdi Kleene-logik. Sandhedstabellerne for negation og ækvivalens forbliver de samme, men for de tre andre operationer har de formen: $B_{3}^{I}$

∧+	T	jeg	F
T	T	jeg	F
jeg	jeg	jeg	jeg
F	F	jeg	F

∨+	T	jeg	F
T	T	jeg	T
jeg	jeg	jeg	jeg
F	T	jeg	F

→+	T	jeg	F
T	T	jeg	F
jeg	jeg	jeg	jeg
F	T	jeg	T

I Bochvars interne logik kan jeg beskrives som "uafhængig", fordi dens værdi ikke afhænger af værdierne af T og F.

Belnaps logik B 4

Logikken foreslået af Nuel Belnap kombinerer og . En "overbestemt" værdi er angivet med B, og en "underbestemt" værdi med N. $K_{3}$ $P_{3}$

f ¬
T	F
B	B
N	N
F	T

f ∧	T	B	N	F
T	T	B	N	F
B	B	B	F	F
N	N	F	N	F
F	F	F	F	F

f ∨	T	B	N	F
T	T	T	T	T
B	T	B	T	B
N	T	T	N	N
F	T	B	N	F

Gödels logik G k og G ∞

I 1932 definerede Gödel en familie af mange værdifulde logikker med et begrænset sæt værdier: $G_{k}$ $0,{\frac {1}{k-1)),{\frac {2}{k-1)),...,{\frac {k-2}{k-1)), en$

For eksempel vil værdierne være $G_{3}$ $0,{\frac {1}{2)),1$

For værdien vil have formen: $G_{4}$ $0,{\frac {1}{3)),{\frac {2}{3)),1$

På samme måde definerede Gödel logik med et uendeligt antal værdier . Alle værdier i er reelle tal, der hører til intervallet [0, 1]. Sandheden i denne logik er 1. ${\displaystyle G_{\infty ))$ ${\displaystyle G_{\infty ))$

Konjunktion (˄) og disjunktion (˅) er defineret som minimums-/maksimumværdien af følgende udtryk:

{\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned))

Negation (¬) og implikation (→) er defineret som følger:

{\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u> 0\end{cases}}\\u{\xrightarrow[{G}]{}}v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\ tekst{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

Gödels logik er fuldstændig aksiomatiserbar, så det er muligt at definere en logisk regning, hvor alle tautologier kan bevises.

Lukasiewicz's logik L v og L ∞

Implikation (→) og negation (¬) blev defineret af Łukasiewicz med følgende funktioner:

{\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u{\xrightarrow[{L}]{}}v&:=\min\{1,1 -u+v\}\end{aligned}}

Lukasiewicz brugte først disse definitioner i 1920, når han beskrev logik med værdier . $L_{3}$ $0,{\frac {1}{2)),1$

I 1922 beskrev han en logik med uendelig værdi , hvis værdier alle var i intervallet [0, 1] og var reelle tal . I begge tilfælde var 1 sand. $L_{{\infty ))$

At beskrive værdier på en Gödel-lignende måde, nemlig: man kan skabe en finit-værdieret familie af logikker , såvel som logik , hvor værdierne også er repræsenteret ved rationelle tal og ligger i intervallet [0, 1 ]. Mange tautologier i og er identiske. $0,{\frac {1}{v-1)),{\frac {2}{v-1)),...,{\frac {v-2}{v-1)), en$ $L_{v}$ $L_{N_{0))$ $L_{{\infty ))$ $L_{N_{0))$

Den resulterende logik Π

I den resulterende logik har vi værdier, der hører til intervallet [0,1], for hvilke konjunktion (ʘ) og implikation (→) er defineret som følger:

{\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }} u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

En falsk værdi i denne logik er 0. Gennem den er det muligt at definere operationerne negation (¬) og konjunktion ved addition (˄):

{\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}{\overline {0}}\\u{\underset {\Pi }{\wedge }}v&:=u\odot (u{\xrightarrow[{\Pi }]{}}v)\end{aligned}}

Posts logik P m

I 1921 definerede Post en familie af logikker med betydninger: ${\displaystyle P_{m))$

$0,{\frac {1}{m-1)),{\frac {2}{m-1)),...,{\frac {m-2}{m-1)), en$ . (svarende til logikken og ). Negation (¬), konjunktion (˄) og disjunktion (˅) er defineret som følger: $L_{v}$ $G_{k}$

{\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac { 1}{m-1)),&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\u{\underset {P}{\wedge }}v&:=\min\{u ,v\}\\u{\underset {P}{\vee }}v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

Roses logik

I 1951 beskrev Alan Rose en familie af logikker for systemer, hvis værdier danner gitter .

Semantik

Matrix semantik (logiske matricer)

Forbindelse med klassisk logik

Logik er et system med et sæt regler designet til at bevare egenskaberne af sætninger under forskellige transformationer. I klassisk logik er denne egenskab "sand".

Flerværdilogik er designet til at bevare notationsegenskaben. Da der er mere end to "sande" værdier, kan inferensregler anvendes til at gemme yderligere data, som muligvis ikke er sande. For eksempel kan logik med tre værdier have to værdier, der svarer til "sand" af forskellige gradationer (for eksempel kan de være positive heltal), og inferensreglerne bevarer disse værdier.

For eksempel kan en opbevaret ejendom være en bekræftelse, der spiller en vigtig rolle i intuitionistisk logik . Vi betragter ikke dets sandhed eller falskhed; i stedet arbejder vi med begreber som eksponering og fejlbarhed.

Den vigtigste forskel mellem bekræftelse og sandhed er, at loven om den udelukkede midterste ikke holder i dette tilfælde: et udsagn, der ikke er falsk, vil ikke nødvendigvis blive bekræftet; i stedet er det kun bevist, at det ikke er fejlagtigt. Nøgleforskellen er sikkerheden for den bevarede egenskab: det kan påvises, at P er valideret, at P er forkert, eller at det hverken er nogen af dem. Et gyldigt argument bevarer gyldigheden under transformationer, så et udsagn afledt af gyldige påstande forbliver gyldigt. Ikke desto mindre er der beviser i klassisk logik, der afhænger direkte af loven om den udelukkede midte; da denne lov ikke gælder inden for rammerne af denne ordning, er der udsagn, som ikke kan bevises på denne måde.

Sushkos afhandling

Hovedartikel: Princippet om bivalens

Det 20. århundrede var præget af den hurtige udvikling af systemer med mange værdsatte logikker, som i øjeblikket er repræsenteret af et stort antal undersøgelser og artikler. Men efterhånden som antallet af forskellige formelle systemer steg, opstod spørgsmålet om fortolkningen af de opnåede resultater. Forskere har akut indset behovet for at reducere (reducere) logikker med mange værdier til et enkelt grundlag.

Almindelig klassisk logik kan tjene som en af varianterne af et sådant grundlag. Den mest fremtrædende repræsentant for denne tilgang er den polske logiker Roman Sushko , som foreslog sin algoritme til at reducere enhver flerværdilogik til klassisk toværdilogik og formulerede princippet, som senere blev kendt som "Sushkos tese". Ifølge dette princip kan man for enhver flerværdilogik opnå en bivalent semantik, der beskriver denne logik.

Funktionel fuldstændighed af logik med mange værdier

Funktionel fuldstændighed er et udtryk, der bruges til at beskrive særlige egenskaber ved endelige logikker og algebraer.

Et logisk sæt er funktionelt komplet, hvis og kun hvis sættet af operationer i dette sæt kan bruges til at beskrive en formel svarende til alle mulige sandhedsfunktioner .

En funktionelt komplet algebra er en algebra, hvor enhver endelig kortlægning kan udtrykkes i form af en sammensætning af de operationer, der er introduceret på den.

Klassisk logik: er funktionelt komplet, mens logikken i Lukasiewicz eller logik med uendelig værdi ikke har denne egenskab. $CL=(\{0,1\}\ \neg \ \rightarrow \land \ \lor \longleftrightarrow )$

Vi kan definere logik med endelig værdi som følger: , hvor og n hører til mængden af naturlige tal. Emil Post i 1921 beviste, at hvis logik er i stand til at producere en m-te ordens funktion, så er der en kombination af operatorer i , der vil producere en m+1 ordensfunktion. $L_{n}(\{1,2,...,n\},\ f_{1},...,f_{m})$ $n\geq 2$ $L_{n}$

Logikker med uendelig værdi

Logik med uendelig værdi kan introduceres på denne måde:

sandhedsværdien er i segmentet af reelle tal fra 0 til 1;
negation er defineret som: ¬A = 1−A;
konjunktion er defineret som: A∧B = min(A, B);
disjunktion er defineret som: A∨B = max(A, B).

Systemerne af R-funktioner i VL Rvachev [3] kan klassificeres som formelle systemer med uendelig værdilogik .

Sandsynlighedsteori og logikker med mange værdier

Det kan se ud til, at sandsynlighedsteori minder meget om logik med uendelig værdi: sandsynligheden svarer til en sandhedsværdi (1=sand, 0=falsk), sandsynligheden for ikke at indtræffe nogen begivenhed svarer til negation, sandsynligheden for forekomsten af to hændelser svarer samtidigt til en konjunktion, og sandsynligheden for mindst en af to hændelser svarer til en disjunktion.

Der er imidlertid en grundlæggende forskel mellem flerværdilogik og sandsynlighedsteori: i logik er sandhedsværdien af enhver funktion fuldstændig bestemt af sandhedsværdien af dens argumenter, mens sandsynligheden for en sammensat hændelse i sandsynlighedsteori ikke kun afhænger af sandsynligheden for dets bestanddele, men også af deres afhængighed af hinanden (hvilket udtrykkes i form af deres betingede sandsynligheder ).

Dette kommer især til udtryk i det faktum, at i sandsynlighedsteori er ækvivalenten til "loven om det udelukkede midterste" opfyldt: sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer eller ikke indtræffer, er altid lig med én, mens den i mangeværdilogikker loven om den udelukkede midterste er ikke opfyldt.

I sandsynlighedsteorien gælder ækvivalenten til " modsigelsesloven " også: sandsynligheden for, at en eller anden begivenhed indtræffer og ikke indtræffer på samme tid, er altid 0, mens modsigelsesloven ikke holder i logikker med mange værdier.

Samtidig er der en vis sammenhæng mellem sandhedsværdierne af ovenstående uendeligt værdisatte logik og sandsynlighedslærens sandsynligheder, nemlig:

hvis a er sandsynligheden for en hændelse, så er sandsynligheden for, at denne hændelse ikke forekommer 1 − a ;
hvis a og b er sandsynligheden for nogle to begivenheder, så overstiger sandsynligheden for fælles forekomst af disse to begivenheder ikke min( a , b );
hvis a og b er sandsynligheden for nogle to begivenheder, så er sandsynligheden for, at mindst én af disse to begivenheder indtræffer, større end eller lig med max( a , b ).

Ansøgninger

Anvendelser af logik med mange værdier kan groft opdeles i to grupper.

Den første gruppe bruger logik med flere værdier til effektivt at løse problemet med en binær repræsentation af en entitet. For eksempel er at repræsentere en boolsk funktion med flere output at behandle dens output som en enkelt variabel, der afhænger af flere argumenter. Yderligere transformationer udføres med det: det omdannes til en karakteristisk funktion med en udgang (især en indikatorfunktion ).

Andre anvendelser af logik med flere værdier omfatter PLA-design (Programable Logic ), tilstandsmaskineoptimering, test og validering.

Den anden gruppe er rettet mod at skabe og designe elektroniske kredsløb ved hjælp af mere end to diskrete niveauer. Disse omfatter: hukommelse med flere værdier, aritmetiske logiske enheder og feltprogrammerbare gate-arrays (FPGA). Flerværdiskemaer har en række seriøse teoretiske fordele i forhold til standard binære skemaer. Så for eksempel kan indbyrdes og off-chip-forbindelsen være mindre, hvis signalerne i kredsløbet kan håndtere fire niveauer i stedet for kun to. I hukommelsesdesign fordobler lagring af to bits information i stedet for én pr. hukommelsescelle tætheden af hukommelsen, mens chipstørrelsen holdes den samme.

Softwareapplikationer, der bruger aritmetiske logiske enheder, drager ofte fordel af brugen af alternativer til de binære talsystemer. Så for eksempel kan resterende og redundante (eng. redundant binær repræsentation ) talsystemer reducere eller eliminere gennem overførsler (eng. ripple-carry ), som foregår i almindelig binær addition eller subtraktion, hvilket fører til højhastigheds aritmetiske operationer. Sådanne talsystemer har en naturlig implementering ved hjælp af flerværdiskemaer.

Imidlertid er det praktiske ved disse potentielle teoretiske fordele meget afhængig af tilgængeligheden af specielle implementeringer, der skal være kompatible og konkurrencedygtige med nuværende standardteknologier. Ud over dets anvendelse i elektronisk kredsløbsdesign, er flerværdilogik i vid udstrækning brugt til at teste kredsløb for fejl og defekter. Næsten alle kendte automatiske testsekvensgenerering (ATG) algoritmer, der bruges til at teste digitale kredsløb, kræver en simulator, der kan håndtere 5-værdi logik (0, 1, x, D, D'). Yderligere værdier - x, D og D'- repræsenterer ukendt/uinitialiseret (x-værdi), 0 i stedet for 1 (D-værdi) og 1 i stedet for 0 (D'-værdi).

Ternær logisk computer

Den ternære computer "Setun" blev oprettet og sat i drift på fakultetet for mekanik og matematik ved Moskva State University i 1958.

I modsætning til den klassiske tilgang, der bruges i moderne computere, brugte Setun en ternær kode med tallene −1, 0, 1. Denne fremgangsmåde har en række fordele, når man udfører aritmetiske operationer og repræsenterer et tal i maskinens hukommelse: der er ikke behov for ufuldkommen yderligere, direkte eller omvendte koder af tal, afrunding udføres ved blot at skære de mindst signifikante cifre af, skiftoperationer er unikke, numrenes kode er ensartet.

Forskningssteder

Det internationale symposium om problemer og spørgsmål, der opstår fra forskning i anvendelser af flerværdilogik (ISMVL) er blevet afholdt årligt siden 1970. Symposiets hovedarbejdsområder er vedligeholdelse af forskellige digitale applikationer og verifikationsproblemer.

Derudover er der et tidsskrift dedikeret til flerværdilogik og dens anvendelser i det digitale område.

Noter

↑ Karpenko A. S. Lukasiewicz logikker og primtal. Moskva: Nauka, 2000.
↑ 1 2 Kovalev S.P., "Matematical foundations of computer aithmetic", Matem. tr., 8:1 (2005), 3-42; Sibirisk Adv. Math., 15:4 (2005), 34-70. Tilgået: 19/06/2021
↑ Rvachev V. L. Teori om R-funktioner og nogle af dens anvendelser. - Kiev: Nauk. mente 1982.

Litteratur

Yablonsky SV Introduktion til diskret matematik. 2. udg. M.: Nauka, 1986. 384 s. (link ned) (link nede siden 05/13/2013 [3454 dage]) Kapitel 2.
Flerværdilogikker og deres anvendelser: Logisk beregning, algebraer og funktionelle egenskaber. Ed. Finna V.K. , bind 1. M.: URSS, 2008. 416 s.
Flerværdilogikker og deres anvendelser: Logik i kunstige intelligenssystemer. Ed. Finna V.K., bind 2. M.: URSS, 2008. 240 s.
Karpenko A. S. Flerværdilogikker. Logik og computer. Problem. 4. M.: Nauka, 1997. 223 s.
Karpenko A. S. Lukasiewicz logikker og primtal. M.: Nauka, 2000. 319s.
Kondakov N. I. Logisk ordbog / Gorsky D. P. - M . : Nauka, 1971. - 656 s.
Artikler om flerværdilogikker på arxiv.org
Levin V.I. Uendelig værdsat logik i problemer med kybernetik. Moskva: Radio og kommunikation, 1982. 176 s.
Rescher, N. "Many-Valued Logic", Mc. Graw-Hill, New York, 1969.
Rosser, JB, Turquette, A.R. "Many-Valued Logics", Nordholland, Amsterdam, 1952.

Logikker

Filosofi • Semantik • Syntaks • Historie

Logiske grupper

klassisk logik	Aristotelisk logik propositionel logik Første ordens logik Anden ordens logik højere ordens logik
matematisk logik	mængdeteori Modelteori Beregnelighedsteori Bevisteori og konstruktiv matematik Lineær logik formelt system naturlig konklusion Sekvensberegning Algebra af logik Relevant logik Deontisk logik intuitionistisk logik Lambek regning
Ikke-klassisk logik	intuitionisme sløret logik Substrukturel logik logik Beskrivelseslogik Flerværdilogik Logisk syntese Bindende logik Tidsmæssig logik Modal logik ( Hybrid logik ) epistemisk logik
Filosofisk logik	Kritisk tænkning uformel logik deduktiv ræsonnement

Komponenter

Bortførelse (logik)
Sandsynlighed
udmelding
Fradrag / Induktion / Traduktion
Virkelighed
Induktiv begrundelse
slutning
boolsk konstant
Rigtigt
logisk følge
Logisk form
Nødvendige og tilstrækkelige betingelser
Beskrivelse
Definition
Substitution
Pakke
Kontrovers ( Antinomy )
Syntetisk dømmekraft / Analytisk dømmekraft
Link

Liste over booleske symboler