Loop nuværende metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. oktober 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Metoden med sløjfestrømme er en metode til at reducere dimensionen af et system af ligninger, der beskriver et elektrisk kredsløb . Dette er en metode til beregning af elektriske kredsløb, hvor strømme i kredsløb dannet af en betinget opdeling af et elektrisk kredsløb tages som ukendte.

Grundlæggende principper

Ethvert elektrisk kredsløb , bestående af R - kanter (grene, sektioner, links) og Y - knuder, kan beskrives ved et ligningssystem i overensstemmelse med 1. og 2. Kirchhoff-regler . Antallet af ligninger i et sådant system er R , hvoraf U -1 ligninger er kompileret efter 1. Kirchhoff-reglen for alle noder undtagen én; og de resterende P - Y + 1 ligninger - ifølge den 2. Kirchhoff-regel for alle uafhængige kredsløb. Da ribbernes strømme anses for at være uafhængige variable i kredsløbet, er antallet af uafhængige variable lig med antallet af ligninger, og systemet er løseligt.

Der er flere metoder til at reducere antallet af ligninger i et system. En sådan metode er sløjfestrømmetoden.

Metoden bruger det faktum, at ikke alle strømme i kredsløbets kanter er uafhængige. Tilstedeværelsen af ligninger for knudepunkterne i Y -1-systemet betyder, at Y - 1-strømmene er afhængige. Hvis vi udskiller uafhængige strømme i P - U +1 kredsløbet, så kan systemet reduceres til P - U +1 ligninger. Sløjfestrømmetoden er baseret på en meget enkel og bekvem metode til at adskille uafhængige strømme i P - U +1 kredsløbet.

Sløjfestrømmetoden er baseret på den antagelse, at en vis virtuel sløjfestrøm cirkulerer i hvert af de P - Y +1 uafhængige kredsløb i kredsløbet. Hvis en kant kun tilhører et kredsløb, er den reelle strøm i den lig med kredsløbsstrømmen. Hvis kanten tilhører flere kredsløb, er strømmen i den lig med summen af de tilsvarende kredsløbsstrømme (under hensyntagen til retningen for at omgå kredsløbene). Da uafhængige sløjfer dækker hele kredsløbet (dvs. enhver kant tilhører mindst én sløjfe), kan strømmen i enhver kant udtrykkes i form af sløjfestrømme, og sløjfestrømme udgør et komplet system af strømme.

Opbygning af et system af konturer

Brug af plane grafer

Den enkleste og mest illustrative metode til at konstruere et system af uafhængige kredsløb er konstruktionen af en plan graf af kredsløbet, det vil sige placeringen af kredsløbets grene og knudepunkter på et plan uden gensidige skæringer af kanter. En plan graf opdeler planet i K afgrænsede områder. Det kan påvises, at de lukkede kæder af kanter, der afgrænser disse områder, er et system af uafhængige konturer for det pågældende kredsløb.

Den plane grafmetode foretrækkes til manuel beregning af kredsløb. Hvis kredsløbet ikke kan repræsenteres som en plan graf, såvel som i tilfælde af en computerstøttet konstruktion af et system af konturer, er brugen af denne metode muligvis ikke mulig.

Maksimal træekstraktionsmetode

Et træ er en delmængde af kædeled, som er en simpelt forbundet (det vil sige bestående af én del) graf, hvor der ikke er lukkede konturer. Et træ fås fra en kæde ved at udelukke nogle led fra det. Et maksimalt træ er et træ, for hvilket tilføjelse af et udelukket link til det fører til dannelsen af en kontur.

Metoden til at udtrække det maksimale træ er baseret på sekventiel udelukkelse af visse led fra kæden i henhold til følgende regler:

Ved hvert trin udelukkes et led tilfældigt fra kæden;
Hvis udelukkelsen af et link fører til en krænkelse af grafens simple forbindelse (det vil sige, grafen er opdelt i to isolerede dele , eller der vises "hængende" knudepunkter), så returneres linket til kæden;
Hvis grafen, når et link elimineres, ikke mister sin blotte forbindelse, forbliver linket udelukket;
Lad os gå videre til næste trin.

I slutningen af algoritmen er antallet af links udelukket fra kredsløbet nøjagtigt lig med antallet af uafhængige kredsløb. Hvert uafhængigt kredsløb opnås ved at tilslutte den tilsvarende udelukkede forbindelse til kredsløbet.

Eksempel på udtrækning af det maksimale træ

Fjernelse af R1-linket
Fjernelse af R2 og R3 links
Fjernelse af linket R4 fører til udseendet af en "hængende" knude
Ved at knytte et fjernlink til træet dannes der en løkke

Konstruktion af et ligningssystem

For at bygge et ligningssystem er det nødvendigt at vælge i kæden P - Y + 1 uafhængige kredsløb. For hver af disse konturer vil der blive tegnet en ligning efter den 2. Kirchhoff-regel . I hvert kredsløb skal du vælge omløbsretningen (for eksempel med uret).

Valg af uafhængige konturer kan udføres ved hjælp af en af metoderne nævnt ovenfor. Det skal bemærkes, at systemet med uafhængige kredsløb som regel ikke er unikt, ligesom det maksimale kædetræ ikke er unikt. Imidlertid er ligningssystemer kompileret efter forskellige kontursystemer matematisk ækvivalente, derfor er et særligt udvalg af kontursystemet muligt, hvilket giver det enkleste ligningssystem.

Vi bemærker også, at for ethvert valg af et system af konturer, i enhver kontur er der nødvendigvis en kant, der kun kommer ind i denne kontur og ingen anden. Sløjfestrømmen falder således altid sammen med strømmen i en af kanterne af denne sløjfe. For eksempel, for kredsløbet vist på figuren, kommer link 4 kun ind i venstre sløjfe, så sløjfestrømmen er betegnet som I 4 . Det samme gælder for de to andre kredsløb, hvor strømmene er betegnet som I 5 og I 6 . Der er andre betegnelser for sløjfestrømme i litteraturen, for eksempel i romertal ( I I , I II , I III ...), latinske bogstaver ( I A , I B , I C ...) osv.

Princippet for at konstruere et ligningssystem er som følger.

Alle strømme i linkene er udtrykt i sløjfestrømme. I dette tilfælde er det nødvendigt kun at udtrykke de strømme, der ikke falder sammen med en af sløjfestrømmene:

I_{1}=I_{6}-I_{4};\quad I_{2}=I_{5}-I_{4};\quad I_{3}=I_{6}-I_{5};

For hver kontur skriver vi ligningen i henhold til den anden Kirchhoff-lov:
- På venstre side af hver ligning skriver vi summen af strømmene i de forbindelser, der indgår i kredsløbet, ganget med modstanden af det tilsvarende led. Summeringen sker under hensyntagen til tegnet: hvis strømmen i forbindelsen falder sammen med retningen for at omgå kredsløbet, skrives udtrykket med et plustegn, ellers med et minustegn.
- På højre side af hver ligning nedskriver vi summen af kildernes EMF, samt summen af produkterne af kildestrømmene og modstanden af det tilsvarende led. Summeringen finder også sted under hensyntagen til tegnet, afhængigt af sammenfaldet eller misforholdet mellem kildens retning og retningen af sløjfestrømmen:

For det første kredsløb ( I 4 ):

-I_{1}Z_{1}-I_{2}Z_{2}+I_{4}Z_{4}=E_{4};

-(I_{6}-I_{4})Z_{1}-(I_{5}-I_{4})Z_{2}+I_{4}Z_{4}=E_{4};

(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})I_{4}-Z_{2}I_{5}-Z_{1}I_{6}=E_{4};

For det andet kredsløb ( I 5 ):

I_{2}Z_{2}-I_{3}Z_{3}+I_{5}Z_{5}=J_{5}Z_{5};

(I_{5}-I_{4})Z_{2}-(I_{6}-I_{5})Z_{3}+I_{5}Z_{5}=J_{5}Z_{ 5};

-Z_{2}I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})I_{5}-Z_{3}I_{6}=J_{5}Z_{5 };

For det tredje kredsløb ( I 6 ):

I_{1}Z_{1}+I_{3}Z_{3}+I_{6}Z_{6}=E_{6};

(I_{6}-I_{4})Z_{1}+(I_{6}-I_{5})Z_{3}+I_{6}Z_{6}=E_{6};

-Z_{1}I_{4}+-Z_{3}I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})I_{6}=E_{6};

Til sidst får vi ligningssystemet

${\begin{cases}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6} =E_{4}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{ 6}=Z_{5}J_{5}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6 })\cdot I_{6}=E_{6}\end{cases}}.$

Optimeret systemkompileringsprocedure

Som det fremgår af ovenstående, kan proceduren for kompilering af systemet forenkles som følger:

På venstre side af den K - te ligning skriver vi produktet af sløjfestrømmen med summen af modstandene af alle led inkluderet i sløjfen :

I_{K}(Z_{K1}+Z_{K2}+...)+...,

hvor er kredsløbsstrømmen, som ligningen er skrevet for; $\ I_{K}$

$\ Z_{{K1}}...Z_{{Kn}}$ - modstanden af de led, der er inkluderet i dette kredsløb.

Fra venstre side af ligningen trækker vi resten af sløjfestrømmene multipliceret med summen af modstandene af de forbindelser, langs hvilke sløjfen K skærer disse sløjfer :

...-I_{A}(Z_{KA1}+Z_{KA2}+...)-I_{B}(Z_{KB1}+Z_{KB2}+...)-...

hvor er strømmene af kredsløbene, der skærer kredsløbet K ; $\ I_{A},I_{B},...$

$\ Z_{{KA1}},Z_{{KA2}},...$ - modstanden af de led, der er inkluderet samtidigt i kredsløbene K og A.

På højre side af ligningen skriver vi summen af EMF-kilderne under hensyntagen til tegnene ("plus" - hvis retningerne for EMF og bypass af kredsløbet er de samme, "minus" - ellers):

...=\pm E_{K1}\pm E_{K2}...

Til højre side af ligningen tilføjer vi værdierne af strømkilderne ganget med modstanden af det tilsvarende led, under hensyntagen til fortegnene ("plus" - hvis retningerne for strømkilden og bypass af kredsløbet er de samme, "minus" - ellers):

...\pm J_{K1}Z_{K1}\pm J_{K2}Z_{K2}...

Ved at kompilere ligninger for alle uafhængige kredsløb opnår vi et fælles system af P - Y +1 ligninger for P - Y +1 ukendte sløjfestrømme.

Eksempel

Lad os antage, at i venstre kredsløb løber kredsløbsstrømmen I 11 med uret , og i højre (også med uret) - kredsløbsstrømmen I 22 . For hver af konturerne komponerer vi ligninger i henhold til den anden Kirchhoff-lov . Samtidig tager vi højde for, at strømmen I 11 - I 22 løber fra top til bund langs den tilstødende gren (med modstand R 5 ) . Vi accepterer også retningerne for at omgå konturerne i urets retning.

{\begin{cases}(R_{1}+R_{2}+R_{5})I_{{11}}+(-R_{5})I_{{22}}=E_{1}+E_{ 5}\\(-R_{5})I_{{11}}+(R_{3}+R_{4}+R_{5})I_{{22}}=-E_{5}-E_{4 }\\\end{cases}}

Lad os omskrive disse ligninger som følger:

{\begin{cases}R_{{11}}I_{{11}}+R_{{12}}I_{{22}}=E_{{11}}\\R_{{21}}I_{{11 }}+R_{{22}}I_{{22}}=E_{{22}}\\\end{cases}},

hvor

{\displaystyle R_{11}=R_{1}+R_{2}+R_{5))

er impedansen af det primære kredsløb;

{\displaystyle R_{22}=R_{3}+R_{4}+R_{5))

- total modstand af det andet kredsløb;

{\displaystyle R_{12}=R_{21}=-R_{5))

- modstanden af den tilstødende gren mellem det første og andet kredsløb, taget med et minustegn;

{\displaystyle E_{11}=E_{1}+E_{5))

- kontur emk af det primære kredsløb;

{\displaystyle E_{22}=-E_{4}-E_{5))

- kontur EMF af det andet kredsløb.

Formel tilgang

I matrixform ser ligningssystemet for sløjfestrømmetoden således ud [1] :

{\mathbf {CZC^{t}I_{2}=C(E+ZJ))),

hvor

${\mathbf C}$ er en n × p konturmatrix (hvor n er antallet af uafhængige konturer, p er antallet af led), hvori den i - te række svarer til en uafhængig kontur i , og den j - te kolonne svarer til forbindelsen j , og grundstoffet C ij er lig med

0 hvis kant j ikke er inkluderet i kontur i ;
1, hvis kanten går ind i konturen, og kantens retning svarer til retningen for at omgå konturen;
–1 hvis kanten går ind i konturen og kantretningen er modsat konturens gennemløbsretning.

Hver kant er givet en retning, der normalt er forbundet med retningen af strømmen i den kant;

${\mathbf Z}$ er en p × p diagonal matrix af modstande , hvor det diagonale element Z ii er lig med modstanden af den i'te kant, og de off-diagonale elementer er lig med nul;

${\mathbf C}^{t}$ er den transponerede matrix af konturer;

${\mathbf I}_{2}$ er en n × 1 søjlematrix af sløjfestrømme .

${\mathbf J}$ er en p × 1 kolonnematrix af strømkilder , hvor hvert element er lig med kildestrømmen i den tilsvarende flanke, og denne værdi er nul, hvis der ikke er nogen strømkilde i denne flanke; positiv, hvis retningen af kildestrømmen falder sammen med retningen af strømmen i kanten; og negativ ellers;

${\mathbf E}$ er en søjlematrix af EMF-kilder af størrelsen p × 1, hvor hvert element er lig med kilde-EMF i den tilsvarende kant, og denne værdi er nul, hvis der ikke er nogen EMF-kilde i denne kant; positiv, hvis retningen af kildens EMF falder sammen med retningen af strømmen i ribben; og negativt ellers.

Et eksempel på et ligningssystem

For skemaet præsenteret i det foregående afsnit (se "Opbygning af et ligningssystem", fig. 1), ser matricerne ud som:

${\mathbf C}={\begin{pmatrix}-1&-1&0&1&0&0\\0&1&-1&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{pmatrix));\quad {\mathbf I}_{2}={\begin{pmatrix}I_ {4}\\I_{5}\\I_{6}\end{pmatrix}}$

${\mathbf C}^{t}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix));\quad {\mathbf Z}={\begin{pmatrix}Z_{1}&0&0&0&0&0\\0&Z_{2}&0&0&0&0\\0&0&Z_{3}&0&0&0\\\0&0&0&Z_{4}&0&0\\0&0&0&0&0&0&Z_{0}&0_\\{5}&0_\\{ \end{pmatrix));\quad {\mathbf J}={\begin{pmatrix}0\\0\\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmatrix));\quad { \mathbf E}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix))$

Vi multiplicerer matricerne i overensstemmelse med matrixligningen:

${\mathbf {CZ}}={\begin{pmatrix}-Z_{1}&-Z_{2}&0&Z_{4}&0&0\\0&Z_{2}&-Z_{3}&0&Z_{5}&0\\Z_ {1}&0&Z_{3}&0&0&Z_{6}\end{pmatrix}};$

${\mathbf {CZC^{t))}={\begin{pmatrix}Z_{1}+Z_{2}+Z_{4}&-Z_{2}&-Z_{1}\\-Z_{2 }&Z_{2}+Z_{3}+Z_{5}&-Z_{3}\\-Z_{1}&-Z_{3}&Z_{1}+Z_{3}+Z_{6}\end {pmatrix}};$

${\mathbf {CZC^{t}I_{2}}}={\begin{pmatrix}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\ cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{ 5}-Z_{3}\cdot I_{6}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_ {6})\cdot I_{6}\end{pmatrix}};$

${\mathbf {E+ZJ))={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix} };\quad {\mathbf {C(E+ZJ)}}={\begin{pmatrix}E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix}}$

Udvider vi matrixnotationen, får vi følgende ligningssystem:

Noter

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Teoretisk grundlag for elektroteknik: i 2 bind Lærebog for universiteter. Bind I. - 3. udg., revideret. og yderligere - L .: Energoizdat. Leningrad. afdeling, 1981. - 536 s., ill.

Se også

Litteratur

Bessonov L.A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. Elektriske kredsløb. - M . : Gardariki, 2002. - 638 s. — ISBN 5-8297-0026-3 .

Metoder til beregning af elektriske kredsløb
direkte anvendelse af Kirchhoffs regler sløjfestrømme nodale potentialer to noder koagulering Cauera tilsvarende generator superposition overlejringer komplekse amplituder sektioner kredsløbsdeterminanter klassisk operatør