Sturmer-Werlet metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Sturmer-Werlet- metoden er en numerisk metode til at løse Cauchy-problemet for differentialligninger . Ofte brugt til at finde banen for et materielt punkt, der bevæger sig i henhold til loven : til at beregne banerne for partikler i molekylære dynamikmodeller og i computerspil. Werlet-metoden er mere stabil end den mere simple Euler-metode , og har samtidig andre egenskaber, der er nødvendige for realtidssimulering af fysiske processer. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Historie og titler

Blev brugt [1] af Isaac Newton i Principias første bog for at bevise Keplers anden lov .

Opkaldt efter den franske fysiker Lou Werle , der brugte metoden til at modellere molekylær dynamik, og den norske astrofysiker Carl Störmer .

Metoden (og dens ækvivalenter) kaldes forskelligt afhængigt af omfanget [1] [2] :

Sturmers metode , Enckes metode - i astronomi;
Werlet-metoden - i molekylær dynamik;
frømetoden ( eng. leapfrog ) - inden for partielle differentialligninger .

Grundlæggende algoritme

Verlet-algoritmen bruges til at beregne den næste placering af et punkt fra nutiden og fortiden uden at bruge hastighed. Formlen opnås som følger. Taylor -seriens udvidelse af punktplaceringsvektoren på tidspunkter og er skrevet : ${\vec {x}}(t)$ $(t+\Delta t)$ $(t-\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

hvor

{\vec {x}}

- punktkoordinater,

\vec{v}

- hastighed,

{\vec {a}}

- acceleration,

{\vec {b}}

- ryk ( afledt af acceleration med hensyn til tid).

Hvis vi tilføjer disse 2 ligninger og udtrykker , får vi ${\vec {x}}(t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Værdien af radiusvektoren for et punkt kan således beregnes uden at kende hastigheden.

Funktioner

Hovedtræk ved algoritmen er evnen til at pålægge forskellige begrænsninger på pointsystemet. For eksempel kan du forbinde nogle af dem med solide stænger af en given længde. I dette tilfælde fungerer algoritmen som følger:

De nye stillinger af organerne beregnes (se formlen ovenfor).
For hver forbindelse er den tilsvarende begrænsning opfyldt, det vil sige afstanden mellem punkterne er lavet som den skal være.
Trin 2 gentages flere gange, således at alle betingelser er opfyldt (systemet af betingelser er tilladt).

Denne metode er, på trods af gentagne gentagelser af trin 2, meget effektiv.

Egenskaber

Metoden er en karakteristisk metode til geometrisk numerisk integration og har følgende egenskaber [2] [3] :

tilhører klassen af ettrins generelle lineære metoder;
har 2. ordens nøjagtighed;
er en symmetrisk (selv-adjoint) integrator;
er en symplektisk integrator;
bevarer fasevolumenet for en række systemer;
bevarer lineære første integraler af systemer.

Kan betragtes som:

Nyströms metode af 2. orden;
sammensætning af Eulers symplektiske metode med dens adjunkt;
opdelingsmetode for systemer af formen ; ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
split Runge-Kutta-metoden defineret Butcher - tabeller ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 en en / 2 en / 2 en / 2 en / 2 en / 2 en / 2 0 en / 2 en / 2 0 en / 2 en / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Ansøgning

Metoden vandt popularitet blandt computerspilsudviklere i 2000 med udgivelsen af spillet Hitman: Codename 47 .

Noter

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrisk numerisk integration illustreret ved Störmer-Verlet-metoden // Acta Numerica. - 2003-5. — Bd. 12 . — S. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 . - doi : 10.1017/S0962492902000144 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrisk numerisk integration . - Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Springer Series in Computational Mathematics). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. En kortfattet introduktion til geometrisk numerisk integration . — Chapman og Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monografier og forskningsnotater i matematik). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Arkiveret 3. juni 2018 på Wayback Machine

Links

Endelig forskelsmetode
Generelle artikler	Endelig forskelsmetode forskelsordning forskelsligning
Typer af forskelsordninger	Euler metode Runge-Kutta metode Adams metode Werlet integration Tidsdomæne endelig forskelsmetode