Lineær kontinuerlig operator

En lineær kontinuerlig operator, der virker fra et lineært topologisk rum X til et lineært topologisk rum Y , er en lineær afbildning fra X til Y , der har kontinuitetsegenskaben . $A:X\rightarrow Y$

Udtrykket "lineær kontinuerlig operator " bruges normalt, når Y er flerdimensional . Hvis Y er endimensional, dvs. falder sammen med selve feltet ( eller ), så er det sædvanligt at bruge udtrykket lineær kontinuert funktionel [1] . Sættet af alle lineære kontinuerlige operatorer fra X til Y er angivet med . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

I teorien om normerede rum er kontinuerlige lineære operatorer mere almindeligt kendt som afgrænsede lineære operatorer af følgende grund. Teorien om kontinuerlige lineære operatorer spiller en vigtig rolle i funktionel analyse , matematisk fysik og beregningsmatematik .

Egenskaber

Hvis X er endelig -dimensional , så er enhver lineær operator kontinuert.
Kontinuiteten af en lineær operator ved nul svarer til dens kontinuitet på ethvert andet punkt (og derfor i hele X ).
For normerede rum er betingelserne for kontinuitet og afgrænsethed (det vil sige operatørnormens finitet ) ækvivalente. [2] . I det generelle tilfælde indebærer kontinuiteten af en lineær operator begrænsethed, men det modsatte er ikke altid sandt.
Hvis X og Y er Banach-rum , og billedet af operatoren falder sammen med rummet Y , så er der en invers operator (den såkaldte inverse operatorsætning ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\in L(Y,X)$
Sættet af alle lineære kontinuerte operatorer fra X til Y er i sig selv et lineært topologisk rum. Hvis X og Y er normaliseret, så er det også normaliseret af operatørnormen . Hvis Y er Banach, så er det det også, uanset fuldstændigheden af X . $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

Egenskaberne for en lineær kontinuert operator afhænger stærkt af egenskaberne af rummene X og Y . For eksempel, hvis X er et endeligt-dimensionelt rum , så vil operatøren være en fuldstændig kontinuerlig operator, dens rækkevidde vil være et finit-dimensionelt lineært underrum, og hver sådan operator kan repræsenteres som en matrix [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Kontinuitet og konvergerende sekvenser

En lineær operator, der handler fra et lineært topologisk rum X til et lineært topologisk rum Y , er kontinuerligt, hvis og kun hvis det for en hvilken som helst sekvens af punkter i X følger af . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0))$ $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$

Lad serien konvergere og være en lineær kontinuerlig operator. Så ligestillingen $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Dette betyder, at den lineære operator kan anvendes led for led til konvergerende serier i lineære topologiske rum.

Hvis X , Y er Banach-rum , så transformerer den kontinuerlige operator hver svagt konvergent sekvens til en svagt konvergent:

hvis svag, så svag.

x_{n}\to x

Ax_{n}\to Axe

Relaterede definitioner

En lineær operator siges at være afgrænset nedefra, hvis . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Se også

Adjoint operatør

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Finite-dimensional vektorrum = Finite-dimensional vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematisk analyse (funktioner af én variabel), del 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 s.

Noter

↑ Lineære kontinuerte funktionaler har specifikke egenskaber, der ikke finder sted i det generelle tilfælde, og genererer specielle matematiske strukturer, så teorien om lineære kontinuerte funktionaler betragtes separat fra den generelle teori.
↑ Naimark M. A. Normerede ringe. — M .: Nauka, 1968. — 664 s.
↑ Også i et finit-dimensionelt rum med en basis kan en lineær kontinuerlig operator repræsenteres som , hvor er funktioner fra det dobbelte rum . $x$ ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n))$ $EN$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$