Lineær form

Lineær form, lineær funktionel (begreberne 1-form , covector , covariant vektor bruges også ) er en lineær mapping , der virker fra et vektorrum over et felt til et felt . Linearitetsbetingelsen består i opfyldelsen af følgende to egenskaber: $L$ $K$ $K$

\Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),

\Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)

for alle to vektorer og enhver . En lineær form (lineær funktionel) er således et specialtilfælde af konceptet med en lineær operator, der handler fra et vektorrum til et andet vektorrum: betragtet over det samme felt . Nemlig i tilfælde af en lineær form (lineær funktionel), vektorrummet . $f,g\in L$ $\alfa \i K$ $L_{K}\to M_{K}$ $K$ $M_{K}=K$

Udtrykket lineær form bruges normalt i algebra og algebraisk geometri, der oftest taler om finit-dimensionelle vektorrum. Fra et algebraisk synspunkt er en lineær form et specialtilfælde af det mere generelle begreb om en k -form for k= 1.

Begrebet lineær funktionel er almindelig i funktionel analyse , og oftest taler vi om uendelig-dimensionelle vektorrum, hvis elementer er funktioner af en eller anden klasse, og begrebet funktionel understreger, at en funktion (kort) betragtes, hvis argument er funktioner. De mest brugte felter er eller . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Eksempler

Eksempler på lineære former for endelig-dimensionelle vektorrum :

Det enkleste eksempel på en lineær form er en lineær homogen funktion af en reel eller kompleks variabel:

y=kx.

Det skalære produkt af et argument og en vilkårlig vektor er en lineær form:

\Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n }x_{n}.\qquad(*)

Desuden, i tilfælde af ethvert finitdimensionelt rum , har alle lineære former på det formen . Dette gør det muligt at identificere hver lineær form med vektoren , og denne korrespondance er en-til-en.

L

(*)

\Phi (\mathbf {x} )

{\mathbf {a} }\i L

Eksempler på lineære funktionaler for funktionsrum :

Lad rummet bestå af funktioner , der er kontinuerlige på sættet . Så for ethvert udtryk og man definerer lineære funktionaler på . $L$ $f(x)$ $\Omega$ $x_{i}\in \Omega$ $\Phi (f)=f(x_{0})$ $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ $L$
Lad rummet bestå af funktioner , der kontinuerligt kan differentieres n gange på sættet . Udtryk $L$ $f(x)$ $\Omega$

\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i }),\quad x_{i}\in \Omega ,

definerer en lineær funktional på .

L

Et af de vigtigste eksempler på en lineær funktional er skalarproduktet af en argumentvektor og en eller anden fast vektor : . I funktionel analyse overvejes ofte vektorrum, bestående af integrerbare funktioner, og skalarproduktet gives ved hjælp af et integral (normalt bruges Lebesgue-integralet ). I dette tilfælde tager ovenstående formel for den lineære funktion formen $f\in L$ $\phi \i L$ $\Phi (f)=\langle f,\phi \rangle$

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

. Sådanne lineære funktionaler bruges for eksempel i definitionen af Fourier-transformationen .

Lad være en lineær operator, der kortlægger et vektorrum ind i sig selv , som består af funktioner, der kan integreres i et sæt . Så udtrykket $A\colon L\to L$ $L$ $\Omega$

\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega

. definerer en lineær funktion på rummet . Eksempler på sådanne lineære funktionaliteter:

L

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f} {dx^{i))}(x){\Bigr )}\,d\omega

Egenskaber

Mættet af alle lineære former på et vektorrum er i sig selv et vektorrum med hensyn til operationerne addition og multiplikation med elementer fra feltet . Dette rum kaldes dobbelt til og betegnes med [1] . Vektorerne i det dobbelte rum kaldes normalt covektorer . I kvantemekanikken er det også sædvanligt at bruge udtrykkene bra vektorer og ket vektorer til at betegne vektorer af det oprindelige rum og covektorer. $L$ $K$ $L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$
Hvis dimensionen er (endelig), så når et bestemt grundlag er valgt i rummet, skrives enhver lineær form på formen , hvor vektoren og koefficientsættet entydigt bestemmer denne form. Formen er givet af et sæt af dens koordinater i en eller anden basis af det konjugerede rum , som kaldes reciprok eller dual til basis . Således [2] . $\dim L=n$ $L$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n))$ ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n))$ $a_{i}$ $\Phi (x)$ $a_{i}$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\dim L^{*}=n$
Hvis dimensionen er endelig, er den isomorf , men i det uendelige-dimensionelle tilfælde er dette ikke tilfældet. I det endelig-dimensionelle tilfælde er det andet dobbeltrum naturligt identificeret med det oprindelige rum [3] . I det uendelige-dimensionelle tilfælde er betingelsen om, at rummet er isomorft , temmelig ikke-trivielt; sådanne rum kaldes refleksive [4] . $\dim L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$ $L$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$
Kernen i en lineær form (lineær funktionel) er et vektorunderrum. Hvis rummet er endelig-dimensionelt, så er kernen af en lineær form, der ikke er identisk nul, et hyperplan i . Især for kernen af den lineære form , hvor , er et plan i tredimensionelt rum, og koefficienterne er koordinaterne for den normale vektor af planet. $L$ $L$ $\dim L=3$ $\Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0$ $a_{i}$

Relaterede begreber

I studiet af uendelig-dimensionelle funktionsrum spilles en særlig rolle af kontinuerlige lineære funktionaler , ellers kaldet generaliserede funktioner . Kontinuitetsegenskaben for en lineær funktional afhænger af den klasse af funktioner (rummet), som den virker på. Det er således let at se, at nogle af ovenstående funktionaliteter ikke er kontinuerte , når de virker på diskontinuerlige funktioner (sådanne eksempler kan nemt gives). Men på adskillelige rum - det vil sige i det mest almindelige og konstruktivt udviklede tilfælde - er de alle sammenhængende.
Rees-repræsentationssætningen siger, at enhver kontinuerlig lineær funktionel i et Hilbert-rum kan repræsenteres på en lignende måde gennem det skalære produkt med et eller andet element af dette rum. $(*)$
Ved at bruge generaliserede funktioner , især Dirac delta-funktionen og dens derivater, kan mange lineære funktionaler, især fra dem, der er givet som eksempler ovenfor, repræsenteres som integrale funktionaler , for eksempel:

\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{ -\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x ))f(x)dx

. I den sædvanlige abstrakte definition af en generaliseret funktion defineres den simpelthen som en kontinuerlig lineær funktionel (i traditionel forstand og notation genereres den funktionelle ved underforstået integration med en generaliseret funktion).

Se også

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, - M .: Nauka, 1965.
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funktionel analyse, 1. udgave, M., 1977.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - Enhver udgave.

Noter

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. III, § 3.7. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. III, s. 131. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. III, s. 132. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - Enhver udgave.