Lagrangiansk mekanik

Lagrangiansk mekanik er en omformulering af klassisk mekanik introduceret af Lagrange i 1788 . I Lagrangiansk mekanik opnås et objekts bane ved at finde en sti, der minimerer handlingen – integralet af Lagrange-funktionen over tid. Lagrange-funktionen for klassisk mekanik introduceres som forskellen mellem kinetisk energi og potentiel energi .

Dette forenkler i høj grad mange fysiske problemer. Overvej for eksempel en perle på en bøjle. Hvis du beregner bevægelse ved hjælp af Newtons anden lov, så skal du skrive et komplekst sæt ligninger, der tager højde for alle de kræfter, der virker på bøjlen fra siden af perlen i hvert tidspunkt. Med brugen af Lagrangiansk mekanik bliver det meget lettere at løse det samme problem. Det er nødvendigt at overveje alle mulige bevægelser af perlen langs bøjlen og matematisk finde den, der minimerer handlingen. Der er færre ligninger her, da det ikke er nødvendigt direkte at beregne effekten af bøjlen på perlen på et givet tidspunkt. Sandt nok er der kun én ligning i dette problem, og den kan også fås fra loven om bevarelse af mekanisk energi.

Essence of Lagrangian mechanics

Lagrangian og princippet om mindste handling

Det mekaniske system er karakteriseret ved generaliserede koordinater og generaliserede hastigheder . Det mekaniske system er forbundet med Lagrange-funktionen - Lagrangian , afhængigt af de generaliserede koordinater og hastigheder, og muligvis direkte på tid - . Tidsintegralet af Lagrangian for en given bane kaldes handlingen : $q$ ${\dot {q}}$ $L(q,{\dot {q}},t)$ $S$

S=\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(q,{\dot {q}}),t)dt

Bevægelsesligningerne i Lagrangiansk mekanik er baseret på princippet om mindst (stationær) handling (Hamiltons princip) - systemet bevæger sig langs en bane, der svarer til minimumshandlingen (i hvert fald i et lille kvarter af sættet af mulige baner). Stationaritet betyder, at handlingen ikke ændrer sig i første orden af lillehed med en uendelig lille ændring i banen, med faste start- og slutpunkter . Hamiltons princip kan skrives som $(q_{0},\;t_{0})$ $(q_{1},\;t_{1})$

\deltaS=0.

Enhver sådan bane kaldes en direkte vej mellem to punkter. Alle andre veje kaldes kredsløb .

Man skal være forsigtig og huske, at ligheden af den første variation af handlingen til nul kun indebærer dens stationaritet, men ikke handlingens minimalitet. Det er let at se, at den funktionelle handling i klassisk mekanik ikke kan antage en maksimal værdi, da en partikel kan rejse den samme vej med en højere hastighed, mens dens kinetiske energi vil være større hele vejen, og den potentielle energi vil ikke ændre sig. , det vil sige, at handlingen ikke er begrænset fra oven (hvis du ikke pålægger hastighedsbegrænsninger). To punkter kan dog forbindes på flere måder, hvor handlingen får en stationær værdi. Det enkleste eksempel er den frie bevægelse af et punkt på en kugle, hvor der er uendeligt mange lige store måder at komme til et diametralt modsat punkt. Mere komplekse tilfælde er mulige, når punkterne er forbundet med flere direkte stier, men værdien af handlingen på dem er anderledes.

Et punkt kaldes det konjugerede kinetiske fokus for punktet, hvis der er flere direkte veje gennem og . $M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ $M_{2}$

I bogstavelig forstand er princippet om mindste handling kun gyldigt lokalt. Det er der nemlig

Bobylevs sætning [1] : handlingen langs den direkte vej har den mindste værdi sammenlignet med rundkørselsstier, hvis der ikke er konjugat for det kinetiske fokus på buen. $M_{1}M_{2}$ $M_{1}M_{2}$ $M_{1}$

Fra Hamilton-princippet, i overensstemmelse med variationsberegningen , opnås Euler-Lagrange-ligningerne :

${\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0$

Hvis vi introducerer følgende notation

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))$ - generaliserede impulser

$F={\frac {\partial L}{\partial q))$ - generaliserede kræfter

så tager Euler-Lagrange-ligningerne formen

${\frac {dp}{dt}}=F$

Altså i form af en generaliseret Newtons anden lov.

Systemets lagrangian er bestemt op til den samlede tidsafledte af en vilkårlig funktion af koordinater og tid. Tilføjelsen af en sådan funktion til Lagrangian påvirker ikke formen af bevægelsesligningerne.

Lagrangian i inerti referencerammer

Et fundamentalt vigtigt træk ved Lagrangian er additiviteten for ikke-interagerende systemer - Lagrangian af sættet af ikke-interagerende systemer er lig med summen af deres Lagrangians. Et andet vigtigt princip i klassisk mekanik er Galileos relativitetsprincip - ensartetheden af love i forskellige inerti-rammer. Derudover anvendes de generelle antagelser om homogenitet og isotropi af rummet og tidens homogenitet. Disse principper betyder invariansen (op til den specificerede usikkerhed) af Lagrangian med hensyn til visse transformationer.

Især for en frit bevægelig ramme (materialepunkt) i en inertiramme følger det af principperne om homogenitet af rum og tid, at Lagrangian kun skal være en funktion af hastighed. Rummets isotropi betyder, at Lagrangian kun afhænger af den absolutte værdi af hastigheden, og ikke af retningen, det vil sige i virkeligheden . Dernæst bruger vi relativitetsprincippet. Variationen af Lagrangian er . Denne variation vil kun være den samlede tidsafledte, hvis , hvorfra vi får, at Lagrangian er direkte proportional med kvadratet af hastigheden $L=L(v^{2})$ $\delta L={\frac {\partial L}{\partial v^{2))}2v\delta v$ ${\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}=konst$

$L={\frac {m}{2}}v^{2}$

Parameteren er, som det fremgår af bevægelsesligningerne, partiklens masse, og Lagrangian er i det væsentlige lig med den kinetiske energi. $m$

Det følger så af bevægelsesligningerne, at den afledte af Lagrangian med hensyn til hastighed er en konstant. Men denne afledte er lig baseret på formen af Lagrangian. Derfor er hastighedsvektoren for en frit bevægende partikel i en inertiramme konstant (Newtons første lov) $mv$

Af additiviteten af Lagrangian følger det, at for et system af ikke-interagerende partikler vil Lagrangian være lig med

$L=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}$

I tilfælde af et lukket system af interagerende partikler bør denne Lagrangian suppleres med en funktion af koordinater (og nogle gange hastigheder), som afhænger af arten af interaktionen

$L=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},...,r_{n} )$

Lagrangian af et åbent system i et eksternt felt har en lignende form. I dette tilfælde antages funktionerne af feltets koordinater og hastigheder at være givet, så den kinetiske del af feltet Lagrangian kan kun ignoreres som en funktion af tiden. Derfor er Lagrangian af et stort system (inklusive et eksternt felt) beskrevet af Lagrangian af det givne system plus feltfunktionen af systemets koordinater og hastigheder, og muligvis tid.

For en partikel i et eksternt felt vil Lagrangian være lig med

$L=mv^{2}/2-U(r,t)$

Herfra er det let at udlede bevægelsesligningerne

$m{\dot v}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F$

Dette er Newtons anden lov

Bevaringslove (integraler af bevægelse)

Homogeniteten og isotropien af rum og tid fører til de mest almindeligt anvendte fredningslove - de såkaldte. additive integraler af bevægelse.

Loven om bevarelse af energi

Det følger af tidens homogenitet, at Lagrangian derfor ikke er direkte afhængig af tiden

${\frac {dL}{dt))=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}{\dot {q_{i))}+\sum _{i }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}$

Ved at bruge Euler-Lagrange-ligningerne får vi herfra

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i))}\right){\dot {q_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}} {\ddot {q_{i))}=\sum _{i}{\frac {d}{dt))\venstre({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))_{ i))}{\dot {q_{i))}\right)$

Herfra

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot { q_{i}}}-L\right)=0$

Altså værdien

$E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}{\dot {q_{i))}-L=\sum _{i}p_ {i}{\dot {q_{i}}}-L$

kaldet energien i systemet ændrer sig ikke med tiden. Dette er loven om bevarelse af energi.

Under hensyntagen til formen af Lagrangian for et lukket system eller et system placeret i et eksternt felt, er det lig med

$L=T(q,{\dot q})-U(q)$

hvor er en homogen kvadratisk funktion af hastigheder, så får vi baseret på Eulers sætning om homogene funktioner $T(q,{\dot q})$

$E=2T-(TU)=T+U$

Systemets energi består således af to komponenter - kinetisk energi og potentiale.

Lov om bevarelse af momentum

Rummets homogenitet betyder invariansen af Lagrangian med hensyn til parallelle oversættelser. Vi har for variationen af Lagrangian

$\delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}=\venstre( \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\right)\delta \mathbf {r} =0$

Da det er vilkårligt, har vi $\delta {\mathbf {r}}$

$\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}=0$

Dette forhold, under hensyntagen til det introducerede begreb om en generaliseret kraft, betyder, at vektorsummen af kræfter er lig med nul (i det særlige tilfælde af to legemer - handlingen er lig med reaktionen - Newtons tredje lov).

Ved at indsætte denne lighed i Euler-Lagrange-ligningerne får vi

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\ højre)=0$

Derfor er udtryk i parentes

$P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}} _{jeg}$

som er en vektorstørrelse kaldet momentum, bevares i tid. Dette er loven om bevarelse af momentum.

Loven om bevarelse af momentum af et system af partikler kan formuleres som ensartetheden og ligeheden af bevægelsen af systemets tyngdepunkt.

Loven om bevarelse af vinkelmomentum

Rummets isotropi betyder invariansen af Lagrangian af et lukket mekanisk system med hensyn til rotationer. Hvis vi bestemmer den infinitesimale rotationsvektor i henhold til skruereglen , så vil ændringerne i radiusvektoren og hastighedsvektoren være lig med vektorproduktet af henholdsvis rotationsvektoren og radiusvektoren eller hastighedsvektoren: $\delta {\mathbf {\phi ))$

$\delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}]$ , $\delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]$

Invariansen af Lagrangian betyder det

$\delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}+ {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i))}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\ prik {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0$

Ved at erstatte udtrykkene for ændringer i radiusvektoren og hastighedsvektoren her får vi:

$\sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi} ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \ phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0$

Under hensyntagen til rotationsvektorens vilkårlighed kan vi endelig skrive

${\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0$

Det betyder, at vektormængden

${\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]$

er gemt. Denne størrelse kaldes vinkelmomentet eller blot momentet.

Afledning af Lagrange-ligningerne fra Newtonsk mekanik

Betragt en enkelt partikel med masse og radius vektor . Vi antager, at kraftfeltet , i hvilket og under hvilken indflydelse det bevæger sig, kan udtrykkes som en gradient af en skalarfunktion - potentiel energi (denne betingelse opfyldes f.eks. af gravitations- og elektriske felter, og ikke ved magnetiske felter): $m$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {F}$ $V({\mathbf {r)),\;t)$

{\mathbf {F}}=-\nabla V.

En sådan kraft afhænger ikke af afledte , så Newtons anden lov danner 3 andenordens almindelige differentialligninger . En partikels bevægelse kan fuldstændigt beskrives af tre uafhængige variable kaldet frihedsgrader . Det åbenlyse sæt af variabler er (kartesiske komponenter på et givet tidspunkt). $\mathbf {r}$ $\{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}$ $\mathbf {r}$

Generalisering kan vi arbejde med generaliserede koordinater , , og deres afledte, generaliserede hastigheder . Radiusvektoren er relateret til de generaliserede koordinater ved hjælp af en transformationsligning: $q_{j}$ $q'_{j}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,

hvor er antallet af frihedsgrader for systemet. $N$

For eksempel, for en plan bevægelse af et matematisk pendul med en længde, vil det logiske valg af den generaliserede koordinat være vinklen af afvigelse fra lodret af suspensionen, for hvilken transformationsligningerne har formen $l$ $\theta$

{\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).

Udtrykket generaliserede koordinater er tilbage fra den periode, hvor kartesiske koordinater var standardkoordinatsystemet.

Overvej en vilkårlig partikelforskydning. Arbejdet udført af den påførte kraft er lig med . Ved hjælp af Newtons anden lov skriver vi: $\delta {\mathbf {r}}$ $\mathbf {F}$ $\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}$

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.

Lad os omskrive denne ligning i form af generaliserede koordinater og hastigheder. På den rigtige side af ligestillingen,

{\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle { \partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{ i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}

Venstre side af ligheden er mere kompliceret, men efter nogle permutationer får vi:

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}=\sum _{i}\venstre[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_ {i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i},

hvor er partiklens kinetiske energi. Ligningen for arbejde vil blive skrevet i skemaet $T={\frac {m}{2}}{{\dot {{\mathbf {r}}}}}^{2}$

\sum _{i}\venstre[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.

Dette udtryk skal være sandt for alle ændringer , så $\delta q_{i}$

\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\ højre]=0

for hver generaliseret koordinat . Vi kan yderligere forenkle dette udtryk, hvis vi bemærker, at er en funktion af kun og , og er en funktion af generaliserede koordinater og . Så afhænger det ikke af de generaliserede hastigheder: $\delta q_{i}$ $V$ $\mathbf {r}$ $t$ $\mathbf {r}$ $t$ $V$

{d \over dt}{\partial {V} \over \partial {{\dot q}_{i))}=0.

Ved at indsætte dette i den foregående ligning og erstatte , får vi Lagranges ligninger : $L=TV$

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot q}_{i}}}.

Ligesom Newtons ligninger er Lagranges ligninger andenordens ligninger, som det følger af deres udledning. Der er en Lagrange-ligning for hver generaliseret koordinat . Når (det vil sige generaliserede koordinater kun er kartesiske koordinater), kan det nemt verificeres, at Lagranges ligninger reduceres til Newtons anden lov. $q_{i}$ $q_{i}=r_{i}$

Ovenstående udledning kan generaliseres til et system af partikler. Så vil der være generaliserede koordinater forbundet med positionskoordinaterne ved transformationsligninger. I hver af Lagrange-ligningerne er systemets samlede kinetiske energi og den samlede potentielle energi. $N$ $3N$ $3N$ $3N$ $T$ $V$

I praksis er det ofte lettere at løse et problem ved at bruge Euler-Lagrange-ligningerne frem for Newtons love, fordi de passende generaliserede koordinater kan vælges for at redegøre for problemets symmetri . $q_{i}$

Eksempler på problemer

Opgave 1. Overvej en punktvulst af masse, der bevæger sig uden friktion langs en fast lodret ring. Systemet har én grad af frihed. Lad os som koordinat vælge afvigelsesvinklen for radius rettet mod vulsten fra tyngdekraftsvektoren . Den kinetiske energi vil blive skrevet i formen $m$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}},

og den potentielle energi er

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funktion til dette system

L=TU={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}}+mgr\cos \varphi .

Lagrange-ligningerne vil have formen:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}={\frac { d}{dt))(mr^{2}{\dot \varphi })+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot \varphi}+mgr\sin \varphi =0.

Denne ligning kan også opnås ved at differentiere loven om bevarelse af mekanisk energi med hensyn til tid. For små vinkler er vinklens sinus lig med selve vinklen: . I dette tilfælde får vi $\varphi$ $\sin \varphi \ca. \varphi$

mr^{2}{\ddot \varphi }=-mgr\,\varphi

det er

{\ddot \varphi }=-{\frac {g}{r}}\,\varphi

Denne differentialligning kendes fra Newtons bevægelsesligninger og har en løsning

\varphi (t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t

hvor konstanterne og afhænger af startbetingelserne, og $EN$ $B$ $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r))))$

Opgave 2. Betragt en punktvulst af masse, der bevæger sig uden friktion langs en lodret ring, der roterer rundt om sin lodrette akse med en konstant vinkelhastighed . Systemet har én grad af frihed. Lad os som koordinat vælge afvigelsesvinklen for radius rettet mod vulsten fra tyngdekraftsvektoren . Den kinetiske energi vil blive skrevet i formen $m$ $\omega$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \theta } ^{2}),

hvor er ringens rotationsvinkel. Den potentielle energi er $\theta$

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funktion til dette system

L=TU={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \ theta }^{2})+mgr\cos\varphi .

Lagrange-ligningerne tager formen

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }} ={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\varphi }})-mr^{2}\sin \varphi \cos \varphi \,{\dot {\theta }} ^{2}+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr\sin\varphi=0,

siden er en given funktion af tiden (ikke en generaliseret koordinat). $\theta =\theta _{0}+\omega t$

Opgave 3. Hvis ringens rotationshastighed ikke blev givet til os, men bestemt af systemets bevægelse (f.eks. en let ring, der roterer uden friktion), så ville vi i stedet for én Lagrange-ligning få to (ligninger for og for ): $\varphi$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \theta }}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0,

mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr \sin \varphi =0,\quad {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot {\theta }})=0.

Disse ligninger kan også opnås ved at differentiere med hensyn til tid loven om bevarelse af mekanisk energi og loven om bevarelse af vinkelmomentum.

Relativistisk lagrangiansk mekanik

Relativitetsteoriens grundlæggende postulat - konstanten af lyshastigheden i alle inertiale rammer fører til en invariant værdi kaldet intervallet s , som er en specifik metrik i firedimensional rumtid:

$s^{2}=c^{2}t^{2}-{\mathbf {x}}^{2}$

For et vilkårligt (det vil sige ikke nødvendigvis ensartet og retlinet) bevægende system kan man overveje uendeligt små tidsintervaller, hvor bevægelsen kan betragtes som ensartet. Lad et objekt i bevægelse rejse en afstand dx i et tidsinterval ifølge et stillestående ur. Så for intervallet har vi udtrykket $dt$

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{ 2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2})$

Følgelig,

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Integrering, får vi

$S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Derfor, hvis vi accepterer Lagrangian af en relativistisk partikel som proportional med integranden af hastigheden, så vil det angivne integral være en handlingsinvariant med hensyn til inertisystemer.

Af hensyn til sammenfald med klassisk mekanik ved lave hastigheder er Lagrangian af en fri relativistisk partikel i en inertiramme i sidste ende lig med

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Følgelig er det relativistiske momentum lig med

${\mathbf {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v ^{2}/c^{2}}}}}$

relativistisk energi er

$E={\mathbf {pv}}-L={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Det kan ses, at selv ved nul hastighed har partiklen energi (i modsætning til klassisk mekanik), som kaldes hvileenergien.

Herfra er det let at få det relativistiske forhold mellem energi og momentum

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$

Lagrangiansk formalisme i feltteori

I feltteori erstattes summen af Lagrangianerne af partiklerne i et mekanisk system af et integral over et vist rumvolumen af den såkaldte Lagrangian-densitet (i feltteorien kaldes Lagrangian-densiteten nogle gange for Lagrangian):

$L=\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}r$

Følgelig er handlingen

$S=\int _{{t_{0}}}^{{t}}\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}rdt=\int _{X}{\mathcal {L }}d^{4}x$

hvor den sidste formel antager integration over firedimensional rumtid.

Det antages, at den lagrangske tæthed ikke afhænger direkte af koordinaterne, men afhænger af feltfunktionen og dens første afledte. Euler-Lagrange-ligningerne i dette tilfælde har formen:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{a}(x)))-\partial _{{\nu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L }}}{\partial (\partial _{{\nu }}u_{a}(x)))}}\right)=0$

Udvidelser af Lagrangiansk mekanik

Hamiltonianeren, betegnet , opnås ved at udføre Legendre-transformationer på Lagrange-funktionen. Hamiltonian er grundlaget for en alternativ formulering af klassisk mekanik kendt som Hamiltonian mekanik . Denne funktion er især almindelig inden for kvantemekanik (se Hamiltonian (kvantemekanik) ). $\mathbf {H}$

I 1948 opfandt Feynman stiintegralformuleringen og udvidede princippet om mindste handling til kvantemekanikken. I denne formulering bevæger partikler sig langs alle mulige veje mellem begyndelses- og sluttilstande ; sandsynligheden for en bestemt sluttilstand beregnes ved at summere (integrere) over alle mulige baner, der fører til den. I det klassiske tilfælde gengiver formuleringen af stiintegralet fuldstændig Hamiltons princip.

Klassiske værker

Lagrange J. Analytical mechanics, bind 1. - M.-L.: GITTL, 1950.
Lagrange J. Analytisk mekanik, bind 2. - M.-L.: GITTL, 1950.
Variationsprincipper for mekanik. Samling af artikler af videnskabens klassikere. Redigeret af Polak L. S. - M .: Fizmatgiz, 1959.

Se også

Noter

↑ Bobylev D.K. Om begyndelsen af Hamilton eller Ostrogradsky og om begyndelsen af den mindste Lagrange-handling / Appendiks til bind LXI Zap. Ak. Videnskaber. - Sankt Petersborg. , 1889.

Litteratur

Gantmakher F. R. Forelæsninger om analytisk mekanik: Lærebog for gymnasier / Udg. E.S. Pyatnitsky . - 3. udg. — M .: Fizmatlit , 2005. — 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X .
Goldstein H. Klassisk mekanik. — 2. udgave. - Addison-Wesley, 1980. - s. 16.
Moon FC anvendte dynamik med applikationer til multibody- og mekatroniske systemer. - Wiley, 1998. - s. 103-168.