Co-equalizer
En co- equalizer er en kategoriteoretisk generalisering af begrebet en faktor med hensyn til ækvivalensrelationen . Dette koncept er dobbelt til konceptet om en equalizer , deraf navnet.
Definition
En coequalizer er en kodefinition af et diagram bestående af to objekter, X og Y , og to parallelle morfismer f , g : X → Y .
Mere eksplicit er en coequalizer et objekt Q sammen med en morfisme q : Y → Q sådan at q ∘ f = q ∘ g . Desuden har et par ( Q , q ) den universelle egenskab : for ethvert andet par ( Q ′, q ′) med den samme egenskab eksisterer der en unik morfisme u : Q → Q ′ , der lukker følgende diagram til et kommutativt . :
Som enhver universel konstruktion er en coequalizer, hvis den eksisterer, defineret op til isomorfisme. Det kan påvises, at coequalizeren q er en epimorfi i enhver kategori.
Eksempler
- I kategorien af mængder er coequalizeren af to funktioner f , g : X → Y faktoren Y ved den svageste ækvivalensrelation , sådan at for enhver , sand .
- I kategorien af grupper er situationen meget ens: hvis f , g : X → Y er gruppehomomorfismer, er deres coequalizer faktoren Y ved den normale lukning af mængden : .
- For Abelske grupper er coequalizeren særlig enkel. Dette er simpelthen faktorgruppen Y / im( f − g ) ( cokernen af morfismen f − g ).
- I kategorien topologiske rum kan cirklen betragtes som en coequalizer af to indlejringer af det standard 0-dimensionelle simpleks i det standard 1-dimensionelle simpleks.
- Co-equalizere kan være ret store: Der er præcis to funktorer fra kategori 1 med et objekt og en morfisme, til kategori 2 med to objekter og præcis en ikke-identitetsmorfisme. Coequalizeren af disse funktorer er monoiden af naturlige tal ved addition, betragtet som en kategori med ét element. Dette viser, at selvom hver co-equalizer er epimorf, er den ikke nødvendigvis surjektiv .
Litteratur
- McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .