Klassisk metode til beregning af transienter

Navnet på metoden "klassisk" afspejler brugen i den af løsninger af differentialligninger med konstante parametre ved metoder i klassisk matematik. Denne metode har fysisk klarhed og er praktisk til beregning af simple kredsløb (beregning af komplekse kredsløb forenkles af operatørmetoden ).

Metode

Stadier af beregning af den transiente proces i kredsløbet ved den klassiske metode:

Find uafhængige begyndelsesbetingelser , det vil sige spændinger på kapacitanser og strømme på induktanser i tidspunktet for begyndelsen af den transiente proces.
Dernæst er det nødvendigt at sammensætte et ligningssystem baseret på lovene for Kirchhoff , Ohm , elektromagnetisk induktion osv., der beskriver kredsløbets tilstand efter omskiftning, og ved at udelukke variabler opnå en differentialligning, i det generelle tilfælde, inhomogen med hensyn til den ønskede strøm eller spænding . For simple kredsløb opnås en differentialligning af første eller anden orden, hvor enten strømmen i det induktive element eller spændingen på det kapacitive element vælges som den ønskede værdi. $jeg$ $u$
Dernæst skal den generelle løsning af den opnåede inhomogene differentialligning af kredsløbet kompileres som summen af en bestemt løsning af den inhomogene differentialligning og den generelle løsning af den tilsvarende homogene differentialligning.
Endelig bør man i den generelle løsning finde integrationskonstanterne fra startbetingelserne, dvs. forholdene i kredsløbet på det indledende tidspunkt efter omskiftning.

Med hensyn til elektriske kredsløb, som en særlig løsning på den ikke-homogene differentialligning, den stabile tilstand i det pågældende kredsløb (hvis det eksisterer), dvs. jævnstrøm og spændinger, hvis kilder til konstant EMF og strømme virker i kredsløbet , eller sinusformede spændinger og strømme under påvirkning af kilder sinusformede EMF og strømme. De stabile strømme og spændinger kaldes stabil tilstand .

Den generelle løsning af en homogen differentialligning beskriver en proces i et kredsløb uden kilder til EMF og strøm, som derfor kaldes en fri proces . Strømmene og spændingerne i en fri proces kaldes fri , og deres udtryk skal indeholde integrationskonstanter, hvis antal er lig med rækkefølgen af den homogene ligning.

Et eksempel på beregning af den enkleste transiente proces ved den klassiske metode

Udfordring

Figuren viser et koblet RL-kredsløb . På et tidspunkt i tiden t=0 lukker nøglen K. Bestem afhængigheden af strømmen i RL-kredsløbet til tiden.

Løsning

Ifølge Kirchhoffs anden lov er kredsløbet beskrevet ved følgende differentialligning:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

hvor det første led beskriver spændingsfaldet over modstanden R og det andet led beskriver spændingsfaldet over induktoren L.

Vi foretager en ændring af variabel og bringer ligningen til formen: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Da en af faktorerne a, b kan vælges vilkårligt, vælger vi b, så udtrykket i parentes er lig med nul:

Rb+Lb'=0.

Adskillelse af variabler:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Under hensyntagen til den valgte værdi af b reduceres differentialligningen til formen

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrering, får vi

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Vi får udtrykket for strømmen

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Værdien af integrationskonstanten findes ud fra den betingelse, at der i øjeblikket t=0 ikke var nogen strøm i kredsløbet:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Endelig får vi

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Se også

Transiente processer i elektriske kredsløb

Litteratur

Elektroteknik: Proc. for universiteter / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov. - 7. udg., Sr. - M .: Højere. skole, 2003. - 542 s.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Links

Klassisk metode til beregning af transienter _ _ _ _
Metode og eksempler på beregning af transiente processer ved den klassiske metode. Arkiveret 4. oktober 2006 på Wayback Machine på http://www.ups-info.ru Arkiveret 14. juni 2008 på Wayback Machine

Metoder til beregning af elektriske kredsløb
direkte anvendelse af Kirchhoffs regler sløjfestrømme nodale potentialer to noder koagulering Cauera tilsvarende generator superposition overlejringer komplekse amplituder sektioner kredsløbsdeterminanter klassisk operatør