Kvantificerer

En kvantifier er en generel betegnelse for logiske operationer, der begrænser rækkevidden af et prædikats sandhed og skaber et udsagn . Oftest nævnt:

Universal kvantifier (betegnelse:, lyder: "for enhver ...", "for hver ...", "for alle ..." eller "hver ...", "enhver ...", "alle .. ."). $\for alle$
Eksistenskvantator (betegnelse:, læs: "der er ..." eller "der er ..."). $\eksisterer$

I matematisk logik kaldes tildelingen af en kvantifier til en formel binding eller kvantificering .

I mange-værdi-logikker introduceres også andre kvantifikatorer, for eksempel pluralitetskvantifikatoren (Rescher-kvantifier) (angivet med en inverteret M , læst "for flertallet ...").

Eksempler

Betegn prædikatet " x er deleligt med 9". Ved at bruge den universelle kvantifier kan man formelt skrive følgende udsagn (selvfølgelig falske): $P(x)$

ethvert naturligt tal er et multiplum af 9;
hvert naturligt tal er et multiplum af 9;
alle naturlige tal er multipla af 9;

på følgende måde:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

Følgende (allerede sande) udsagn bruger den eksistentielle kvantifier :

der er naturlige tal, der er multipla af 9;
der er et naturligt tal, der er et multiplum af 9;
mindst ét naturligt tal er et multiplum af 9.

Deres formelle notation er:

(\eksisterer x\i {\mathbb {N}})P(x)

Introduktion til konceptet

Lad prædikatet : "Et primtal er ulige" være givet på sættet af primtal. Erstat ordet "enhver" før dette prædikat. Vi får den falske sætning "ethvert primtal er ulige" (denne erklæring er falsk, da 2 er et lige primtal). $x$ $P(x)$ $x$ $x$

Ved at erstatte ordet "eksisterer" før dette prædikat får vi det sande udsagn "Der er et primtal , der er ulige" (for eksempel ). $P(x)$ $x$ $x=3$

Det er således muligt at gøre et prædikat til et udsagn ved at foran prædikatet sætte ordene ("alt", "eksisterer" og andre), som kaldes kvantificerere i logikken.

Kvantifikatorer i matematisk logik

Udsagnet betyder, at variablens rækkevidde er inkluderet i prædikatets sandhedsinterval . $\foralt xP(x)$ $x$ $P(x)$

("For alle værdier er udsagnet sandt"). $x$

Udsagnet betyder, at prædikatets sandhedsregion ikke er tom. $\eksisterer xP(x)$ $P(x)$

("Der findes , hvorunder udsagnet er sandt"). $x$

Frie og bundne variabler

Sættet af frie variable* af formlen F er defineret rekursivt som følger:

Gratis variabler.

Alle variable inkluderet i en atomformel er frie variabler med denne formel,
de frie variable i formlen F er de frie variabler af formlen ¬F,
variabler, der er frie for mindst én af formlerne F eller G, er frie variabler af formlen (F D G),
alle frie variable med formlen F undtagen v er frie variable med formlen Kv F.

lukket formel.

En formel uden frie variable kaldes en lukket formel eller en sætning.

Associeret variabel.

Variablen v er bundet i en formel F, hvis F indeholder en forekomst af Kv, hvor K er en kvantifier.

Bundet omdøbning, frit omdøbning

Operationer på kvantifikatorer

Kvantificerende negationsreglen bruges til at konstruere negationer af udsagn, der indeholder kvantificerere, og har formen:

$\likke (\foralt x)P(x)=(\eksisterer x)\likke P(x)$
$\likke (\eksisterer x)P(x)=(\foral x)\likke P(x)$

Udseende historie

Filosoffer har længe været opmærksomme på logiske operationer, der begrænser rækkevidden af et prædikats sandhed, men har ikke udpeget dem som en separat klasse af operationer. Så Thomas Hobbes mente, at de er dele af navne [1] .

Selvom kvantifier-logiske konstruktioner er meget brugte både i videnskabelig og i daglig tale, fandt deres formalisering først sted i 1879 , i Freges bog "Begrebsregningen". Freges notation lignede besværlige grafiske konstruktioner og blev ikke accepteret. Efterfølgende blev mange flere vellykkede symboler foreslået, men notationen for eksistenskvantatoren (omvendt første bogstav i det engelske Exists - eksisterer), foreslået af Charles Pierce i 1885 , og for den generelle kvantifier ( tysk: Alle $\eksisterer$ $\for alle$ - "alt", "alle"), dannet af Gerhard Gentzen i 1935 i analogi med symbolet på den eksistentielle kvantifier. Udtrykkene "kvantificering", "kvantificering" blev også foreslået af Peirce.

Noter

↑ "Men ordene: enhver, enhver, nogle osv., der angiver den generelle eller særlige betydning af andre ord, er ikke navne, men kun dele af navne." (Thomas Hobbes "On the Body")

Litteratur

Kleene S. K. Introduktion til metamathematics, trans. fra engelsk, M., 1957, s. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematisk logik. Ed. 3., stereotypisk. — M.: KomKniga, 2006. — 240 s.
Novikov PS Elementer af matematisk logik. — M.: Nauka, 1973. — 400 s.
Kirke A. Introduktion til matematisk logik, trans. fra engelsk, bind 1, M., 1960, s. 42-48.

Links

kvantificerere

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323