Kvantefeltforstyrrelsesteori i statistisk fysik

Kvantefeltforstyrrelsesteori i statistisk fysik er en metode til at studere interagerende systemer i statistisk fysik baseret på teknikker, der oprindeligt er udviklet til behovene i elementær partikelfysik. Perturbation theory (PT) er baseret på en trin-for-trin overvejelse af en perturbation, som anses for lille. Ved nultrinnet er denne forstyrrelse fuldstændig elimineret, hvilket svarer til et idealiseret frit (uden forstyrrelse) system. I det næste trin tages der højde for korrektionen til nultilnærmelsen, der allerede er lineær i forstyrrelse, i det andet trin den kvadratiske korrektion og så videre. Selvfølgelig er det på denne måde umuligt at tage højde for bidraget fra alle ordrer til den beregnede værdi. Normalt er de begrænset til de første par vilkår af udvidelsen og får god overensstemmelse med de eksperimentelle data. For at forfine beregningerne er det nødvendigt at tage hensyn til følgende udvidelsesbetingelser. TV er meget vellykket brugt i metoden med stiintegraler [1] [2]

Introduktion

Et vigtigt emne i statistisk fysik er den komplette korrelationsfunktion . I formalismen af stiintegraler er n-punktskorrelationsfunktionen defineret som [3]

G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi \phi (x_{1})...\phi (x_ {n})e^{{-S}}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S(\phi )))}},

her , er Hamiltonian af det undersøgte system, er Boltzmann-konstanten , er den absolutte temperatur og er det tilfældige felt af ordensparameteren (f.eks. afvigelsen af systemets tæthed fra gennemsnittet). Bemærk, at dette nogle gange kaldes "handling", men bør ikke forveksles med ægte handling . Korrelationsfunktioner kan måles direkte i eksperimenter, for eksempel på spredning af lys ved tæthedsudsving $S(\phi )={\frac {H(\phi)}{k_{B}T}}$ $H(\phi)$ $k_B$ $T$ $\phi (x)$ $S(\phi)$

Hele systemets fysik er dikteret af typen og egenskaberne . Den vigtigste model i statistisk fysik er modellen , som beskrives ved en handling af formen: $S(\phi)$ $\phi^4$

S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^ {2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\right)

det antages, at alle parametre her er analytiske funktioner af temperatur. Denne model beskriver godt adfærden af væsker og dampe i nærheden af det kritiske punkt, magneternes opførsel i nærheden af Curie-punktet osv.

For at beregne korrelationsfunktionerne er det nødvendigt at beregne det tilsvarende stiintegral med en given handling eller den genererende funktional . Det er klart, at dette i det generelle tilfælde er umuligt. Et nøjagtigt analytisk udtryk kan kun opnås for handlinger, der er kvadratiske i feltet, det vil sige i tilfælde af en Gauss-fordeling . Af denne grund bruges TV-metoden her. En lille forstyrrelse i den undersøgte teori er udtrykket . $g\phi ^{4}$

The Problem of Infinities

Forstyrrelsens lillehed gør det muligt at udvide den eksponentielle potens af koblingskonstanten g og yderligere beregne vejintegraler med en kvadratisk Hamiltonian. Sådanne beregninger er baseret på anvendelsen af Wicks sætning og Feynmans regler . Brug dem til at overveje en 2-punkts korrelationsfunktion:

G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_{1}) \phi (x_{2})\sum _{{j=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g \ phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}\sum _{{j = 0}}^{{\infty }}{\frac {1}{j!)}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right )} ^{j}}}.

I nulte ordens TV i koblingskonstanten får vi korrelationsfunktionen af den frie teori:

G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{{-S_{0}}}}},

i første rækkefølge i g har vi:

G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D))\phi e^{{-S_{0))}\phi (x_ {1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}{\int {\mathfrak {D}} \phi e^{{-S_{0}}}}}},

så vil korrelationsfunktionen i en sådan lineær tilnærmelse være:

G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1}, x_{2})+O(g^{2})

Alle rettelser er bygget ud fra den frie teoripropagator og interaktionsudtrykket . I momentumrepræsentationen svarer den første korrektion i g til udtrykket: $G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})$ $g\phi ^{4}$

G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2 \pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)

, hvor

G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.

Det kan ses, at dette integral divergerer ved store pulser - UV (ultraviolet) - divergens. Hvis vi indfører en cutoff-parameter, det vil sige, begrænser integrationsområdet med betingelsen , så . Det er således tydeligt, at der allerede ved tv'ets første trin opstår uendelige udtryk. Generelt kan uendeligheder optræde ikke kun på grund af integralernes UV-divergenser, men også på grund af IR-divergenser (ved små momenta), kollineære divergenser (på grund af momentaens parallelitet) osv. De kan regulariseres ved hjælp af nogle parametre, f.eks. eksempel . Som et resultat bliver de beregnede udtryk afhængige af disse ukendte regulariseringsparametre. Det er dog muligt at omdefinere de originale felter og afgifter, så svaret ikke indeholder en regularizer. Teknisk gøres dette ved at tilføje modtermer til den oprindelige (grundlæggende) handling, som afhænger af regulariseringsparameteren og charge og annullerer alle regulariserede termer i hver rækkefølge i g, hvilket gør svarene endelige. En teori med en sådan korrigeret handling kaldes renormaliseret. Det viser sig, at det ikke altid er muligt at reducere divergenserne i teorien. Hvis antallet af divergerende bidrag er endeligt, så er teorien superrenormaliserbar, hvis deres antal er uendelig, men de kan annulleres i enhver rækkefølge, så er teorien renormaliserbar, hvis dette ikke kan lade sig gøre, er teorien ikke-renormaliserbar. Modellen er superrenormaliserbar i rumdimensioner mindre end 4, i 4 dimensioner er den renormaliserbar, i et rum med højere dimensioner er det umuligt at annullere alle uendeligheder. Generelt er tilhørsforholdet af en teori til den ene eller anden kategori bestemt af anklagens dimension. $|k|\leqslant \Lambda$ $G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}$ $\lambda$ $\phi ^{4}$

En anden måde at regulere på er at flytte rummets dimension . I denne tilgang har de divergerende dele af integralerne form af poler i parameteren . Tilføjelse af modbegreber til den grundlæggende handling svarer til at strække de indledende (seed) parametre: $4\højrepil 4-\epsilon$ $\epsilon$

\phi (x)\rightarrow Z_{{\phi }}\phi (x),g\rightarrow g\mu ^({\epsilon }}Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{{\tau } }.

Ved beregning er det mest bekvemme minimumssubtraktionsskemaet eller MS-skemaet (fra Minimal Substraktioner). I den er mængderne funktioner af det dimensionsløse g (dimensionen af g "overtages" af renormaliseringsmassen ) og . Disse mængder har strukturen $Z_{{\phi )),Z_{g},Z_{{\tau }}$ $\mu$ $\epsilon$

Z(g,\epsilon )=1+\sum _{{n=1}}^({\infty }}g^{n}\sum _{{i=1}}^{{n}}{\ epsilon }^{{-i}}a_{{ni}},

hvor er numeriske faktorer [4] [5] . $a_{{ni}}$

Seriekonvergens

Efter renormalisering giver hvert led i tv-serien et endeligt bidrag. Det næste problem, der skal løses, er konvergensen af den resulterende serie.

Det er klart, at endeligheden af hvert bidrag ikke medfører endeligheden af tv-serien. For at bestemme konvergensradius kan du bruge d'Alembert-tegnet :

R=\lim _{{N\rightarrow \infty }}{\frac {C_{N}}{C_{{N+1}}}},

her er ekspansionskoefficienterne for en mængde i en serie i g. Dette indebærer, at for at bestemme konvergensradius er det tilstrækkeligt at kende den asymptotiske adfærd af at , det vil sige den asymptotiske adfærd af høje ordener (HTO). $C_{N}$ $C_{N}$ $N\højrepil \infty$

Betragt den fulde n-punkts korrelationsfunktion som en funktion af ladningen g. Dens serieudvidelse i g har formen:

G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\sum _{{N=0}}^{{\infty }}g^{N}G_{n}^{ N}(x_{1},...,x_{n}),

og ekspansionskoefficienterne, under forudsætning af analyticitet , bestemmes af formlen : $G_{n}(g)$

G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{{N+ 1 }}}}dg.

Denne visning giver dig mulighed for at anvende beståelsesmetoden til studiet af WUA'er. Det endelige udtryk for AVP for ekspansionskoefficienterne for n-punktskorrelationsfunktionen er:

G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{{b(n)}}a^{N}(1+O( 1/N))F(x_{1},...,x_{n}),

størrelserne c(n), b(n) afhænger kun af n, a er en konstant, og er nogle funktioner. Det kan ses, at der ikke er behov for at tale om nogen konvergens af tv-serien. I de fleste tilfælde er tv-serier asymptotiske. [6] [7] $F(x_{1},...,x_{n})$

Nedbrydninger af kritiske indekser

På trods af at udseendet af UV-divergenser i TV fører til nogle vanskeligheder, er der også en positiv side ved denne situation. Som det allerede er kendt, har renormaliseringskonstanterne Z i dimensionel regularisering strukturen af poler i . Det viser sig, at resterne ved de simple poler af renormaliseringskonstanterne indeholder al information om modellens kritiske adfærd, det vil sige om adfærden i nærheden af det kritiske punkt. De kritiske indeks er direkte relateret til de unormale dimensioner, som bestemmes af disse rester: . I denne tilgang er kritiske indekser konstrueret som segmenter af serier i forhold til parameteren [8] . Som analysen af ATP'en for en sådan -udvidelse viser, har koefficienterne for disse serier de samme asymptotiske forhold (a, b(n), c(n, naturligvis forskellige) som n-punktskorrelationsfunktionerne. Derfor giver den direkte summering af sådanne udvidelser ingen mening, da den næste term yder et større bidrag end den forrige. Imidlertid kan faktorielt divergerende serier også summeres i en generaliseret forstand og opnå ret gode resultater, og i de endelige resultater bør vi sætte , hvis vi er interesseret i tredimensionelle systemer, eller i det todimensionelle tilfælde. Vi bemærker, at de kritiske eksponenter oprindeligt blev beregnet inden for rammerne af Landaus middelfeltteori og var i dårlig overensstemmelse med eksperimentet. Renormaliseringsgruppetilgangen ( -ekspansion) giver mulighed for at beregne kritiske eksponenter med god nøjagtighed [9] . $\epsilon$ $\eta =2\gamma _{{\phi }}(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{{\tau }}(g_{*})$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon=1$ $\epsilon=2$ $\epsilon$

Borel summering af forstyrrelsesserier

Lad os nu fokusere på en metode, der giver dig mulighed for at summere faktorielt divergerende serier.

Antag en eller anden funktion

Q(z)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}Q_{k}z^{k}

har en WUA af typen . Så er en funktions Borel- funktion funktionen $Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}$ $B(z)$ $Q(z)$

B(z)=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}B_{k}z^{k}

sådan at

B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},

Q(z)=\int \limits _{{0}}^{{\infty }}e^{{-t}}t^{{b_{0}}}B(zt)dt.

Gyldigheden af dette udsagn er baseret på Watsons sætning [10] [11] , hvilket er sandt under den betingelse, at funktionen Q(z) er analytisk i en eller anden sektor i det komplekse plan af variablen z. Som regel kender vi i kvantefeltteori og statistisk fysik ikke på forhånd de analytiske egenskaber af den funktion, som vi konstruerer tv-serien til, så anvendeligheden af Watsons sætning er fortsat i tvivl. Betragt funktionen som en funktion af den komplekse variabel z. Fra definitionen af dens ekspansionskoefficienter følger det, at den tilsvarende WUA vil have formen: $B(z)$

B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{{b-b_{0}}}.

Det følger, at rækken i cirklen konvergerer til funktionen $|z|<1/a$

B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{{b-b_{0}+1}}}}+r_{2},

hvor er konstanter. Bemærk, at integrationskonturen krydser seriens konvergenscirkel og går ud over analyticitetsregionen , derfor er det nødvendigt at konstruere analytiske fortsættelser for udover konvergensområdet for at beregne værdien . Sådanne udvidelser kan konstrueres på flere måder. En af dem er Padé' tilnærmelsesmetode . Et yderligere krav til tilnærmelse er fraværet af poler på integrationsaksen. Den anden metode er metoden til konforme kortlægninger [12] $\r_{1},r_{2}$ $B(z)$ $B(z)$ $Q(z)$ $B(z)$

Genoptagelsesproceduren består således i overgangen til en konvergent serie, beregningen af dens sum og den omvendte transformation til den oprindelige værdi. Hvis vi anvender denne metode på almindelige konvergerende serier med sum S, så får vi efter Borel-summation det samme svar S.

Som et eksempel præsenteres værdierne for nogle kritiske eksponenter opnået ved genoptagelse - ekspansion (fem-loop) ( ), højtemperaturudvidelse (HT) og eksperimentelt (E) for en isotrop ferromagnet: $\epsilon$ $\epsilon$

Det kan ses, at alle metoder til beregning af kritiske eksponenter giver samme resultat inden for fejlen. På trods af at tv-serierne er asymptotiske, og den formelt lille udvidelsesparameter faktisk viser sig at være i størrelsesordenen og endda større end enhed, er beregningsresultaterne således absolut objektive. Verifikation af forstyrrende QED for sådanne mængder som Lamb shift eller unormalt magnetisk moment giver en rekordstor nøjagtighed af overensstemmelse mellem teori og eksperiment. Standardmodellen for elektrosvage vekselvirkninger af elementær partikelfysik demonstrerer også en forbløffende overensstemmelse mellem perturbationsteori-beregninger og eksperimentelle resultater. På trods af al dets effektivitet er tv dog begrænset i dets anvendelsesområde. Disse begrænsninger er forbundet både med stigningen i kompleksiteten af sløjfeberegninger i hver på hinanden følgende TV-rækkefølge og med den grundlæggende forskel mellem teoriens forstyrrende og ikke-perturbative spektre. I QCD er det ikke muligt at klare sig med forstyrrende beregninger alene på grund af tilstedeværelsen af indeslutningsfænomenet og den store værdi af koblingskonstanten i det infrarøde område.

Se også

Noter

↑ Popov V.N. Stiintegraler i kvantefeltteori og statistisk fysik. — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Schroeder D., Peskin M. Introduktion til kvantefeltteori. - Izhevsk: RHD, 2001. - ISBN 5-93972-083-8 .
↑ A. N. Vasiliev. Funktionelle metoder i kvantefeltteori og statistik. - Leningrad: Leningrad. un-t, 1976. - S. 1976.
↑ Vasiliev A. N. Kvantefeltrenormaliseringsgruppe i teorien om kritisk adfærd og stokastisk dynamik. - St. Petersborg: PNPI, 1998. - S. 77. - ISBN 5-86763-122-2 .
↑ John C. Collins. Renormalisering . – Cambridge. - Cambridge University Press: Cambridge University Press, 1984. - S. 62 . — ISBN 0-521-24261-4 .
↑ Lipatov L.N. Divergens mellem serier af forstyrrelsesteori og semiklassisk teori // ZhETF. - 1977. - T. 72 . - S. 411 .
↑ Brezin E., Le Guillou JC, Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. Interaktionen // Fysisk. Rev. D. - 1977. - T. 15 , nr. 1544 . $\phi ^{{2N}}$
↑ Ma Sh. Moderne teori om kritiske fænomener. - Colorado: Westview Press, 2000. - S. 172. - ISBN 978-0738203010 .
↑ Patashinsky A. Z., Pokrovsky V. L. Fluktuationsteori for faseovergange. — M.: Nauka, 1982. — S. 347.
↑ Reed M., Simon B. 4 // Metoder for moderne matematisk fysik Analyse af operatører. - California: Academic Press, 1978. - S. 50. - ISBN 978-0125850049 .
↑ H. Hardy. Divergent serie. New York: Chelsea Pub. Co., 1991. - ISBN 978-0821826492 .
↑ Zinn-Justin J. Kvantefeltteori og kritiske fænomener. - Oxford: Clarendon Press, 1996. - S. 997. - ISBN 978-0198509233 .

Litteratur

Itsikson K, Zyuber Zh. B. Kvantefeltteori. Bind 1. Bind 2 .. - M . : Mir, 1987.
Zee E. Kvantefeltteori i en nøddeskal - Forskningscenter "RCHD", 2009.
Wilson K. Renormaliseringsgruppe og kritiske fænomener: Nobelforelæsning. - 1982.