Wicks sætning for det funktionelle integral

Wicks sætning for det funktionelle integral er en generalisering af Wicks sætning for et polynomium i koordinaterne for en flerdimensionel Gaussisk vektor til tilfældet med en Gaussisk kontinuumfordeling . Udbredt i apparatet af funktionelle integraler .

Ordlyd

Sætning.

Lad det tilfældige felt svare til kontinuummet Gauss-fordeling med nul middel, dvs. . Så gælder følgende for middelværdierne af produkter af mængder af formen : $\varphi (X)$ $\langle \varphi (X)\rangle =0$ $\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

hvis endda, og $N$

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

hvis ulige. $N$

Under menes opdelingen af sættet i par , mens summeringen går over alle mulige forskellige partitioner i sådanne par. $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{ N/2}}\rangle$ $\{1,\ldots ,N\}$ $N/2$ $(i_{k},j_{k})$ $\{1,\ldots ,N\}$

Eksempler

Til produkt 4 elementer: . $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \ varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{ 3}\rangle$

Til produkt 6 elementer:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6 }\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$ ,

desuden udføres summeringen over alle mulige parringer valgt fra sættet , for eksempel eller (der er 15 sådanne parringer i alt). $(i,j),(k,l),(m,n)$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\))$ $(1,3),(2,5),(4,6)$ $(1,5),(2,4),(3,6)$

Tilsvarende for tilfælde med 8 eller flere elementer

Brug

Det er kendt, at hvis den Gaussiske fordelingstæthed er beskrevet af formlen

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi}{2}}\right\}$ ,

derefter

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1 }(X_{1},X_{2})$ .

Det vil sige, at enhver korrelationsfunktion kan udtrykkes ved Wicks sætning i form af kombinationer , dvs. f.eks. $G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$ $K^{-1}$

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1 }(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+ K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$ .

Se også

Litteratur

Vasiliev A.N. Kvantefeltrenormaliseringsgruppe i teorien om kritisk adfærd og stokastisk dynamik. - Forlag for St. Petersburg Institute of Nuclear Physics (PNPI), 1998. - ISBN 5-86763-122-2 .