Kategorien af Abelske grupper (betegnet Ab ) er en kategori, hvis objekter er Abelske grupper, og hvis morfismer er gruppehomomorfismer . Det er prototypen af den abelske kategori . [1] faktisk kan enhver lille Abel-kategori indlejres i Ab [2] .
Ab er en komplet underkategori af Grp ( kategorier af alle grupper ). Hovedforskellen mellem Ab og Grp er, at summen af to homomorfismer af abelske grupper igen er en homomorfi:
( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )Den tredje lighed kræver additionens kommutativitet. Tilføjelsen af morfismer gør Ab til en præ-additiv kategori , og da den endelige direkte sum af Abelske grupper er et biprodukt , følger det, at Ab er en additiv kategori .
I Ab er forestillingen om en kerne i kategorisk betydning det samme som forestillingen om en kerne i algebraisk betydning , det samme gælder for kokernen . (Den vigtigste forskel mellem Ab og Grp her er, at f ( A ) muligvis ikke er en normal undergruppe i Grp , så kvotientgruppen B / f ( A ) kan ikke altid defineres.) Givet specifikke kerne- og kokkernebeskrivelser er det nemt for at kontrollere, om det Ab i virkeligheden er en abeliaansk kategori .
Et objekt Ab er injektiv , hvis og kun hvis gruppen er delelig ; den er projektiv, hvis og kun hvis gruppen er fri.
Givet to abelske grupper A og B kan man definere deres tensorprodukt A ⊗ B ; det er igen en abelsk gruppe, hvilket gør Ab til en monoidal kategori .
Ab er ikke kartesisk lukket , fordi eksponentialer ikke altid er defineret i den .