Forbrugeropgave

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. februar 2021; checks kræver 8 redigeringer .

Forbrugerens opgave er en formaliseret model for forbrugerens valg mellem forskellige alternativer (varesæt ) under givne begrænsninger [1] . Forbrugerens opgave, sammen med virksomhedens opgave, er grundlæggende i konstruktionen af partielle og generelle ligevægtsmodeller, såvel som for makroøkonomiske modeller , der er baseret på ideen om generel ligevægt. Forbrugerens opgave giver dig mulighed for at opbygge efterspørgselsfunktionen , og virksomhedens opgave er udbudsfunktionen . Generelle ligevægtsmodeller giver os mulighed for at analysere effekten af forskellige stød, herunder regeringens politik.

Sættet, hvori valget foretages, kaldes sættet af gyldige alternativer . I dette tilfælde kan forbrugerens valg yderligere begrænses af, at varerne er varer og har en pris , og forbrugerens indkomst er fast. Derefter indføres en budgetbegrænsning i problemet, og valget inden for budgetsættet overvejes . Det antages også, at der på sættet af acceptable alternativer opstilles en præferencerelation , som vejleder forbrugeren, når han træffer et valg. Især kan præferencer repræsenteres af en hjælpefunktion, der tillader rangering af alternativer.

Oftest menes det, at præferenceforhold er rationelle, og forbrugeren søger at vælge det mest foretrukne alternativ fra sættet af tilgængelige. Hvis der er en nyttefunktion, og der er givet en budgetbegrænsning, reduceres valgproblemet til at maksimere nytten for givne priser og indkomst, eller at minimere omkostningerne ved at anskaffe varer til givne priser og et givet (minimum acceptabelt) nytteniveau.

Problemerne med nyttemaksimering og omkostningsminimering er dobbelte, og deres løsning fører til det samme optimale resultat.

Løsningen på forbrugerens problem er efterspørgslens funktion (kortlægning). I tilfælde af nyttemaksimeringsproblemet er løsningen den marshallske (walrasiske efterspørgsel) funktion , og i tilfælde af omkostningsminimeringsproblemet er den hicksianske efterspørgselsfunktion .

Formalisering

Med hensyn til præferencer

Redegørelsen af problemet i form af præferencer er den mest generelle, da præferencer ikke altid kan repræsenteres af en hjælpefunktion.

Hvis en præferencerelation er sat på sættet af gennemførlige alternativer , reduceres forbrugerens opgave til at finde det mest foretrukne alternativ fra sættet af tilgængelige. Formelt betyder det, at det optimale valg ikke er værre end noget andet: $x$ ${\displaystyle \{\succeq \))$

x^{*}\succeq x,\,\forall x\in X

Hvis det derudover antages, at varerne er varer og har en pris, og forbrugerens indkomst er begrænset, så udføres søgningen inden for det fastsatte budget . Så betyder valgets optimalitet, at ethvert andet tilladt sæt, der er strengt taget bedre (i betydningen af dette præferenceforhold) end det givne, ikke hører til budgetsættet:

x\succ x^{*}\implies p\cdot x>R

Løsningen på forbrugerens problem er ikke altid den eneste. I det generelle tilfælde kan flere ækvivalente alternativer opfylde optimalitetskriteriet på én gang.

At løse problemet ved hjælp af præferencer i det generelle tilfælde er svært. Derfor er den mest almindelige antagelse, at præferencer kan repræsenteres af en nyttefunktion, og der pålægges en budgetbegrænsning på forbrugerens valg. Brugen af en nyttefunktion betyder, at forbrugeren opfører sig rationelt.

Hvis nyttefunktionen er kontinuerlig og differentierbar, bliver det muligt at bruge optimeringsteoriens metoder . Så kan forbrugerens problem angives i en af to former: i form af nyttemaksimering (direkte problem) eller omkostningsminimering (dobbelt problem).

Problemet med nyttemaksimering

Nyttemaksimeringsproblemet er et direkte (marshallsk) forbrugerproblem for en given nyttefunktion og en given budgetbegrænsning.

Lad være forbrugerens nyttefunktion , hvor er vektoren af alternativer (forbrugersæt), som er et element i det tilladte sæt . Lad også være en prisvektor og lad være forbrugerens disponible indkomst. Forbrugerens direkte opgave er at maksimere nytten af det tilladte budget fastsat af budgetbegrænsningen : $u(x)$ $x$ $x$ $s$ $R$ $px\leqslant R$

{\begin{cases}u(x)\rightarrow \max _{x}\\px\leqslant R\\x\i X\end{cases))

Under tilstrækkeligt svage forudsætninger er nyttefunktionen kontinuert og budgetsættet er afgrænset og lukket, så et sådant problem har altid en løsning ( Weierstrass ' sætning ).

Når hjælpefunktionen er differentierbar, har førsteordens betingelser for at løse problemet formen:

{\frac {\partial u(x)}{\partial x_{l))}\leq \lambda p_{l},\,l=1,2,...L

hvor er Lagrange-multiplikatoren . Lighedstegnet svarer til den interne løsning af problemet (i den optimale løsning er mængden af varer strengt taget større end nul), og ulighedstegnet svarer til det kantede (produktet er ikke inkluderet i den optimale kurv). Løsningen på dette problem er den marshallske (walrasiske) efterspørgsel . $\lambda$ $x(p,R)$

Hvis vi erstatter den marshallske efterspørgsel med den objektive funktion (nytte), så får vi den indirekte nyttefunktion . $v(p,w)$

Omkostningsminimeringsproblem

Omkostningsminimeringsproblemet er det dobbelte (hicksianske) forbrugerproblem og er formuleret som problemet med at minimere forbrugerens omkostninger til at anskaffe et sæt varer, forudsat at deres nytteværdi ikke er mindre end en vis værdi (de valgte alternativer vil ikke være værre end et fast sæt varer):

{\begin{cases}ph\rightarrow \min _{h}\\u(h)\geqslant u(x)\\h\in X\end{cases))

hvor er nogle grundlæggende sæt, og er et sæt ikke værre end fra sættet af tilladte alternativer. $x$ $h$ $x$

Første ordre betingelser :

\lambda {\frac {\partial u(x)}{\partial x_{l))}\leq p_{l},\,l=1,2,...L

hvor er Lagrange-multiplikatoren . Lighedstegnet svarer til den interne løsning af problemet, og ulighedstegnet svarer til det kantede. Løsningen på dette problem er den Hickianske efterspørgsel . $\lambda$ $h(p,x)$

Hvis vi erstatter Hiskian-kravet med den objektive funktion, får vi omkostningsfunktionen . $e(p,{\bar {u)))$

Dualitet

Problemerne med nyttemaksimering og omkostningsminimering er dobbelte, det vil sige, de fører til den samme optimale løsning. Når man derudover kender det optimale i et problem, kan man altid finde det optimale i et andet uden at løse det.

På det optimale tidspunkt falder Marshallian og Hickian efterspørgsel sammen:

x^{*}(p,R)\equiv h(p,{\bar {u)))

Samtidig er nytten i minimeringsproblemet lig med det maksimale af nyttefunktionen i maksimeringsproblemet og omvendt: minimumsomkostningen i det dobbelte problem er lig med den faste indkomst i den lige linje . $v(p,e(p,{\bar {u))))={\bar {u))$ $e(p,v(p,R))=R$

Egenskaber ved forbrugerproblemløsninger

Hvis præferencer er lokalt umættelige , er nyttefunktionen to gange kontinuerligt differentierbar og stærkt kvasi-konkav, så er den Marshallske efterspørgselsfunktion kontinuerligt differentierbar i priser og indkomst, og den hicksianske efterspørgselsfunktion er kontinuerligt differentierbar i priser.

Det kan påvises, at løsningen på forbrugerens direkte problem opfylder følgende betingelse:

MU(x)=\lambda p

hvor er vektoren af marginale nytteværdier ( gradient af nyttefunktionen). $MU(x)$

det vil sige, at vektoren af marginale forsyninger er proportional med vektoren af priser. Dette betyder, at i det optimale valg er forholdet mellem de marginale nytteværdier af individuelle varer ( den marginale substitutionsgrad ) lig med forholdet mellem deres priser:

MRS_{ij}={\frac {MU_{i}(x)}{MU_{j}(x)}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}

Se også

Noter

↑ Busygin V.P., Zhelobodko E.V., Tsyplakov A. Mikroøkonomi-tredje niveau: Lærebog // Novosibirsk: Publishing House of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences. - 2005. - c. 103

Litteratur

Busygin V.P., E.V. Zhelobodko, A.A. Tsyplakov. Mikroøkonomi - det tredje niveau. - Novosibirsk, 2003.
Cheremnykh Yu.N. Mikroøkonomi. Avanceret niveau. - M. : INFRA-M, 2008. - 844 s.
Fridman A. A. Forelæsninger om kurset i avanceret mikroøkonomi. - M . : Publishing House of the State University Higher School of Economics, 2007. - ISBN 978-5-7598-0335-5 .