Diaschisme

Diaschisme ( anden græsk διασχίσμα , lat. diaschisma ), også reduceret komma [1] - mikrointerval , lig med forskellen mellem didyme (syntonisk) komma og skisma og har således forholdet mellem frekvenserne af den øvre og nedre lyd lig. til

{\frac {81}{80}}:{\frac {32805}{32768}}={\frac {2^{11}}{3^{4}\cdot 5^{2}}} ={\frac {2048}{2025}}

eller 19.5526 q .

En diaschisme, såvel som en dur- og moldieses , svarer til en formindsket sekund i ren stemning (det vil sige et interval af formen C-Deses, Cis-Des, E-Fes, Eis-F [2] osv. ). ).

Relation af diaschisme til andre intervaller

Diaschisme kan udtrykkes på forskellige måder gennem andre rene tuning-intervaller, som vist i følgende tabel. Hvert af disse udtryk kan tages som en definition af diaschisme.

	diaschisme som	tilsvarende formel
en	forskel mellem lille diesa og didym komma	${\frac {128}{125}}:{\frac {81}{80}}=$	$\ ={\frac {2048}{2025}}$
2	forskel mellem en formindsket kvint og en forstærket fjerdedel (ren tuning)	${\frac {64}{45}}:{\frac {45}{32}}=$
3	forskel mellem to diatoniske halvtoner og en større hel tone	$\left({\frac {16}{15}}\right)^{2}:{\frac {9}{8}}=$

Nogle gange tages den første af ovenstående som hoveddefinitionen. Det kan illustreres som følger. Hvis tre rene større tredjedele (med et frekvensforhold på 5:4) udskydes fra lyden (tonehøjde) C i træk (med et frekvensforhold på 5:4): C-E-Gis-His , så lyden His opnået i denne måde vil være lavere end lyden c (som er en oktav over den oprindelige lyd C ), og intervallet His-c (reduceret sekund) vil være lig med den lille diese (128:125). Hvis C-E-Gis-His i denne kæde af tredjedele ikke tages som en ren dur terts, men som en pythagoræer (dvs. diton ), som er bredere end en ren dur terts med et didymisk komma, så er His -lyden kl. enden af kæden vil vise sig at være højere end i den tidligere konstruktion med samme didyme-komma, og intervallet His-c vil i dette tilfælde være lig med forskellen mellem den lille diesa og didyme-kommaet, dvs. diaschisme [3] .

For at bygge en diaschisme ud fra en lyd med , kan du sætte to rene dur-terts og to (større) hele toner ned fra den i vilkårlig rækkefølge, for eksempel: c—As—Ges—Eses—Deses [4] , og derefter hæve resulterende lyd ( Deses ) til en oktav op. Den resulterende reducerede anden c-deses vil være lig med diaschismen.

Den akustiske ulighed af en formindsket kvint og en forstærket fjerdedel i ren tuning er illustreret som følger. Hvis vi producerer følgende forsinkelse af intervaller fra den originale lyd C :

C-F-G-H-f ,

hvor C-F er en perfekt kvart (4:3), C-G er en perfekt kvint (3:2), G-H er en perfekt dur terts (5:4), F-f er en oktav (2:1), så er forholdet mellem frekvenserne af lydene af den øgede fjerde F-H (45 : 32) vil være mindre end forholdet mellem frekvenserne af lydene af den formindskede femte H-f (64 : 45). Forskellen mellem disse intervaller vil være lig med diaschismen (se 2. linie i tabellen). Samtidig viser den øgede kvart sig at bestå af to dur (9:8) og en mindre (10:9) heltone, og den formindskede kvint består af en større, en mindre hele tone og to diatoniske halvtoner (16) : 15) [5] . Derfor er diaschisme også lig med forskellen mellem to diatoniske halvtoner og en større heltone (se 3. række i tabellen).

Der kan påpeges andre sammenhænge, der forbinder diaschisme med forskellige intervaller af rene og pythagoræiske stemninger. For eksempel er diaschisme lig med forskellen mellem limma og den mindre kromatiske halvtone på den rene skala (25:24):

{\frac {256}{243}}:{\frac {25}{24}}={\frac {2048}{2025}}

Historisk information

Den første omtale af begreberne "diaschisme" og "skisma" i kendte skriftlige kilder er indeholdt - desuden i latin, ikke græsk stavemåde - i Boethius ' afhandling "Musikkens grundprincipper " (Mus. III.8) [6] . Imidlertid giver Boethius, med henvisning til Philolaus , disse udtryk en anden betydning end den, der i øjeblikket accepteres:

lat. original	Russisk oversættelse
Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Komma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Skisma er dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris.	For disse og mindre end disse intervaller giver Philolaus sådanne definitioner. Diez, siger han, er det interval, hvormed det supertertiære forhold overstiger to toner. Kommaet er det interval, hvormed supra-osmin-forholdet overstiger to dieser, det vil sige to små ( lit. mindre) halvtoner. Skisma er halvdelen af kommaet. Diaschisme er en halv diesa, altså en lille halvtone [7] .

I dette fragment af Boethius svarer intervallerne "diesa" ("mindre halvtone") og "komma" til limma og pythagoreisk komma , derfor - med en streng fortolkning - halvdelen af disse intervaller har følgende numeriske udtryk:

	forhold (frekvenser)	værdi i cents
halvdelen af kommaet (skisma ifølge Boethius / Philolaus)	$\sqrt{\frac{531441}{524288}}=\frac{729}{1024}\sqrt2$	11.7300
halvdelen af limma (diaschisme ifølge Boethius / Philolaus)	$\sqrt{\frac{256}{243}}=\frac{16}{27}\sqrt3$	45,1125

I moderne teori kaldes disse to intervaller undertiden for henholdsvis filolaisk skisma og diaschisme [8] ; Boethius selv giver ingen numeriske udtryk for det skisma og diaschisme, han definerede.

Den boetiske forståelse af diaschisme (som "halvdelen af en mindre halvtone", generelt set, uden et nøjagtigt numerisk udtryk) blev opretholdt gennem middelalderen (af Regino Prümsky, Engelbert af Admont, Hieronymus af Mähren , Jakob af Liège , Pseudo-Thundsted , John Boen og mange andre. .) og renæssancen (Ugolino Orvietsky, Tinktoris , Glarean osv .). På samme tid, hvis disse forfattere angav numeriske relationer for diaschisme (eller skisma), brugte de ikke den geometriske middelværdi til at opnå det numeriske udtryk "halvdelen" af det tilsvarende interval (hvilket ville svare til den strenge definition af halvdelen af intervallet, men ville samtidig føre til irrationelle relationer [9] ), men i de fleste tilfælde den aritmetiske middelværdi eller harmoniske middelværdi [10] .

F. Salinas nævner i sin afhandling "Syv bøger om musik" ( 1577 ) kun kort skisma og diaschisme i den boetiske forståelse (bemærker irrationaliteten af disse "de gamles mellemrum"). Han giver dog numeriske relationer svarende til de aktuelt accepterede definitioner af disse intervaller: han beregner intervallet som et "overskud" ( latin "excessus" ) af to halvtoner ( ) over en større heltone; og intervallet - som overskuddet af det pythagoriske komma over det "harmoniske" ( lat. komma harmonicum ), altså didymisk [11] . $2048:2025$ $16:15$ $32805:32768$

En ejendommelig transformation af forståelsen af den boethianske definition af skisma og diaschisme fandt sted i New Age, da den rene (quinto-tertz) stemning, hvis teori blev grundlagt af J. Tsarlino og F. Salinas , allerede havde blive det almindeligt accepterede grundlag for læren om musikalske intervaller. Så for eksempel angiver A. Werkmeister (delvis med henvisning til Barifon ) i sin tabel over intervaller [12] blandt andet følgende:

	lille ( lat. minus )	stor ( lat. majus )
skisma	162:161	161:160
diaschisme	32:31	31:30

Werkmeister giver ingen kommentarer til disse definitioner af skisma og diaschisme, men ud fra de angivne numeriske værdier er det klart, at et så lille og stort skisma opnås ved at dividere didyme- kommaet ( ) "i halve" - mere præcist ved at dividere ved hjælp af det aritmetiske middelværdi ( ) med to, mindst og meget lidt forskellige fra hinanden, men ulige dele. På samme måde svarer en større og mindre diaschisme til to dele ("halvdele") af en diatonisk halvtone ( ), opnået ved hjælp af det aritmetiske middelværdi ( ). Dette svarer i princippet til de boetiske definitioner af skisma som en halv af et komma og diaschisme som en halvdel af en (mindre) halvtone, hvis vi med komma ikke mener pythagoreisk, men didymisk komma, med halvtone - ikke limma, men en diatonisk halvtone af et rent system ( ), og endelig for at lave en division intervallet "i halve" ved hjælp af aritmetikken, ikke den geometriske middelværdi. (Fordi resultatet er ulige dele, er udtrykkene "større" og "små" nødvendigvis til stede.) $162:160=80:81$ $161$ $32:30=16:15$ $31$ $16:15$

J.-F. Rameau citerer i sin Treatise on Harmony (1722) et interval kaldet "formindsket komma" og definerer en mindre diesa ( ) som et interval bestående af to kommaer (det vil sige didymiske og formindskede) [13] . I et senere værk ("The New System of Theoretical Music", 1726) kalder han det reducerede komma lille, idet han adskiller det fra det store (det vil sige didyme, ). Forskellen mellem disse kommaer (svarende til skismaet i den moderne definition, ) kalder Rameau det "mindste semi-komma" ( fr. Sémi-Comma minime ) [14] . L. Euler kalder i sin "Experience of a New Theory of Music" (1739) intervallet diaschisme og definerer det som forskellen mellem en lille diesa og et (didymisk) komma [15] . $2048:2025$ $128:125$ $81:80$ $32805:32768$ $2048:2025$

Definitionen af skisma som et interval fremkommer senest i 1. kvartal af det 19. århundrede [16] . Det er accepteret på nuværende tidspunkt, såvel som Eulers definition af diaschisme, og blev fastsat sammen med det i tabellerne over musikalske intervaller af G. Riemann [17] og A. J. Ellis [18] . Terminologien defineret af disse tabeller danner grundlaget for moderne [19] . $32805:32768$

Noter

↑ sigt J.-F. Rameau ("Afhandling om harmoni", 1722).
↑ Sådanne intervaller i ren stemning er ikke unisone, det vil sige, de består af lyde med virkelig forskellige tonehøjder .
↑ Hvis alle tre større tredjedele i den specificerede kæde C-E-Gis-His er pythagoræiske (det vil sige lig med ditoner ), så vil den resulterende lyd His være højere end lyden c med et pythagoræisk komma; hvis to af disse tredjedele er pythagoræiske, og den ene er ren, så vil lyden His være højere end lyden c ved skisma.
↑ Her er c-As og Ges-Eses rene større tertser, der er lagt ned (5:4), og As-Ges og Eses-Deses er store hele toner (9:8).
↑ Det vil sige, at den faktiske tritonus (et interval bestående af tre toner) i den rene stemning netop er den øgede kvart, og ikke den reducerede kvint. I den forbindelse har J.-F. Rameau og andre teoretikere fra det 18. århundrede kaldte normalt tritonen den øgede fjerdedel, men ikke den formindskede femtedel, mens begge angivne intervaller på nuværende tidspunkt (i forbindelse med vedtagelsen af lige temperament ) kaldes " tritoner ".
↑ Boethius. De institutione musica, liber III Arkiveret 2. februar 2011 på Wayback Machine )
↑ Russisk oversættelse citeret fra bogen: A. M. S. Boethius. Fundamentals of Music / Forberedelse af teksten, oversættelse fra latin og kommentarer af S. N. Lebedev . - M . : Scientific Publishing Center "Moscow Conservatory", 2012. - S. 137. - xl, 408 s. - ISBN 978-5-89598-276-1 . .
↑ Se for eksempel artiklerne skisma Arkiveret 28. september 2009 på Wayback Machine og diaschisma Arkiveret 29. september 2009 på Wayback Machine i Tonalsoft® Encyclopedia of Microtonal Music Theory Arkiveret 29. maj 2007 på Wayback Machine .
↑ For eksempel bemærker Robert Fludd , at skisma og diaschisme (i den strenge boethianske forstand) ikke kan udtrykkes ved hjælp af "musikalske proportioner", det vil sige forhold mellem hele tal: "Pro schismate autem, quod est dimidium Comatis, [Boethius] negat ipsum in proportionem Musicam posse introduktion; Similis etiam est impossibilitas introducendi Diaschisma sub iisde m proportionibus" ( Utriusque cosmi metaphysica...(1617) Arkiveret 12. september 2014 på Wayback Machine , Vol. II, Tract. II, Pars II, Lib. III, Kap. II; s. 186).
↑ Inddelingen af limma ved hjælp af det aritmetiske middelværdi findes også hos Boethius selv ( Mus. IV.6 Arkivkopi af 13. november 2009 på Wayback Machine ) i forbindelse med konstruktionen af tetrakorder af enharmonisk slægt . Resultatet af en sådan division er intervallerne 512: 499 og 499: 486 (tallet 499 er det aritmetiske gennemsnit af tallene 512 og 486, hvis forhold 512: 486 = 256: 243 svarer til limmaet), hver af som Boethius kalder diesa uden på nogen måde at bemærke deres formelle ulighed eller en mulig forbindelse med diaschisme, defineret af ham tidligere. Disse intervaller (512:499 og 499:486) afviger fra den "nøjagtige halve limma" ( ) med mindre end 0,5878 cent . $\sqrt{256/243}$
↑ F. Salinas. De Musica libri Septem, Liber II Arkiveret 19. juni 2010 på Wayback Machine Cap. XVIII og XXIII.
↑ A. Werckmeister. Hodegus Curiosus (Musikguide), Cap. XXV.
↑ J.-P. Rameau. Traite de l'harmonie, TI, I.5 .
↑ J.-P. Rameau. Nouveau Systême de Musique Theorique Arkiveret 20. juni 2010 på Wayback Machine , Kap. III. I dette værk definerer Rameau fem typer af "semicomms" - den mindste, lille, mellemstore, store og største ( fr. minime, mineur, moyen, majeur, maxime ).
↑ L. Euler. Tentamen novae theoriae musicae, 1739 Arkiveret 19. juli 2010 på Wayback Machine . Kasket. VII. Udtrykket "skisma" og holdning forekommer ikke i dette værk. $32805:32768$
↑ For eksempel er det givet i P. Lichtenthals musikordbog ( P. Lichtenthal. Dizionario e bibliografia della musica . - Fontana, 1826. )
↑ På russisk for første gang - i udgaven af Riemanns "Musikordbog", redigeret af Yu. Engel. - M., Leipzig, 1901, s. 955-960; Tabel over intervaller ifølge Riemann Musiklexicon, i bogen. Yu. N. Kholopova "Harmony" Arkivkopi af 19. september 2011 på Wayback Machine
↑ Se tabellen over intervaller i tillægget skrevet af Ellis til den engelske udgave af H. Helmholtz ' bog "The doctrine of auditive sensations as a physiological basis for theory of music" ( H. Helmholtz. On the sensations of tone as et fysiologisk grundlag for musikteorien, 1895 ), With. 453.
↑ På samme tid, i det 19. århundrede, blev det pythagoriske komma undertiden kaldt "diaschisme" (for eksempel i bogen af R. Brown. [https://archive.org/details/elementsmusical00browgoog Elements of musical science . - 1860. ]), og i litteraturen efter stemning af musikinstrumenter (hovedsagelig tysk) indtil midten af det 20. århundrede, som talforhold for diaschisme, blev det ofte valgt, som adskiller sig fra det "matematisk korrekte" forhold vha.mindre end en hundrededel af en cent. Brøkener den første matchende brøk for. $89:88$ $2048:2025$ $89:88$ $2048:2025$

Litteratur

Volkonsky, A. Grundlæggende om temperament. - M .: Komponist, 1998. - ISBN 5-85285-184-1 .
Kholopov, Yu. N. Harmony. Teoretisk kursus. - M . : Musik, 1988. ; 2. tilføjelse. udg., St. Petersborg, 2003.
Werckmeister, Andreas. Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus oder Richtiger Musicalischer Weg-Weiser (Musikguide). — Frankfurt u. Leipzig (Quedlinburg): Th. P. Calvisius , 1687 _ _
Rameau, Jean-Philippe. Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Afhandling om harmoni). — Paris , 1722. _ _ _ _
Euler, Leonard. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus de musica) . - Petropol.: Typ. Acad. Sci, 1739. Russisk oversættelse: Euler, Leonard. Oplevelse af en ny teori om musik, klart angivet i overensstemmelse med de uforanderlige principper for harmoni / oversættelse. fra lat. N. A. Almazova. - Skt. Petersborg: Ros. acad. Sciences, St. Petersborg. videnskabelig center, forlaget Nestor-History, 2007. - ISBN 978-598187-202-0 .
Riemann Musiklexikon, in vier Bänden und einem Ergänzungsband (12te Aufl.) / herausg. v. W. Gurlitt, C. Dahlhaus, H. H. Eggebrecht. — Schott, 1995.

Links

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Musical Riemann

Musikalske intervaller
Enkel	Prima Sekund Tredje Quart Quint Sjette Syvende Oktav
Sammensatte	Nona Decima Undecima duodecyma Terzdecima Quartdecima Quintdecima
Mikrointervaller	Skisma Diaschisme Komma Diez Cent Millioktav
Særlig	Hel tone Halvtone Limma Apotoma Deaton Halv Diton Triton Ulvekvint