Homotopi grupper af sfærer

Homotopi grupper af sfærer er et af hovedobjekterne for undersøgelse i homotopi teori , et felt af algebraisk topologi . Homotopigrupper af sfærer klassificerer kortlægninger mellem højere dimensionelle sfærer op til kontinuerlig deformation. Homotopigrupper af sfærer er diskrete algebraiske objekter, nemlig endeligt genererede abelske grupper . Selvom klassificeringen af endeligt genererede Abelske grupper er meget enkel, er den nøjagtige struktur af sfærernes homotopigrupper ikke fuldstændig kendt.

At finde dem var en af de vigtigste retninger i udviklingen af topologi og matematik generelt i 1950'erne og 60'erne, op til skabelsen af generaliserede kohomologiteorier . [1] Årsagen til dette var både det faktum, at sfærernes homotopigrupper er grundlæggende topologiske invarianter , hvis forståelse fører til en bedre forståelse af topologiske rum generelt, og tilstedeværelsen af et stort antal komplekse regelmæssigheder i deres struktur. . Resultatet var både fundet af nogle generelle regelmæssigheder, såsom stabile homotopigrupper af sfærer og J-homomorfismen , og beregningen af grupper for små parameterværdier.

Uformel introduktion

En multidimensional dimensionssfære er et topologisk rum , der kan repræsenteres som et sted for punkter i det dimensionelle euklidiske rum , fjernt fra koordinaternes oprindelse i en afstand af 1. Især er en cirkel , og er en almindelig to- dimensionel kugle . $S^{n}$ $n$ $(n+1)$ $S^{1}$ $S^{2}$

Hvis der er et topologisk rum med et markeret punkt , så er dens -th homotopigruppe sættet af kortlægninger fra til til , betragtet op til homotopier , det vil sige kontinuerlige forstyrrelser, som desuden skal bevare det markerede punkt. Især er den fundamentale gruppe , det vil sige gruppen af lukkede stier i et topologisk rum med kompositionsoperationen . I det multidimensionelle tilfælde kan dette sæt også udstyres med en gruppestruktur, mens den, i modsætning til den grundlæggende gruppe, for gruppen vil være kommutativ . $x$ $x$ $jeg$ $\pi _{i}(X)$ $S^{i}$ $x$ $en$ $x$ $\pi _{1}(X)$ $i\geqslant 2$ $\pi _{i}(X)$

Enhver afbildning fra en sfære med lavere dimension til en sfære med højere dimension kan sammentrækkes til et punkt, så grupperne ved . Imidlertid er den grundlæggende gruppe i cirklen allerede en uendelig cyklisk gruppe . Dens elementer, det vil sige afbildninger fra cirklen ind i sig selv op til homotopi, er unikt defineret af antallet af omdrejninger af billedet af cirklen omkring dens centrum, og når man sammensætter stier, tilføjes antallet af omdrejninger. Som i det endimensionelle tilfælde er homotopigruppen af afbildninger fra den -dimensionelle sfære ind i sig selv uendeligt cyklisk. Strukturen af gruppen er dog ikke intuitivt indlysende: den genereres af Hopf-fibreringen . $\pi _{i}(S^{n})=0$ $i<n$ $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ $S^{1}$ $n$ $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ $\pi _{3}(S^{2})$

Små værdier

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π6 _	π 7	π 8	π9 _	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15	pi 16
S1 _	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2 _	0	Z	Z	Z2 _	Z2 _	Z12 _	Z2 _	Z2 _	Z3 _	Z15 _	Z2 _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6 _
S3 _	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z12 _	Z2 _	Z2 _	Z3 _	Z15 _	Z2 _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6 _
S4 _	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z15 _	Z2 _	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z26 _ _
S5 _	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	Z2 _	Z2 _	Z2 _	Z 30	Z2 _	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 x Z 2 2
S6 _	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	Z	Z2 _	Z60 _	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 x Z 2
S7 _	0	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	0	Z2 _	Z 120	Z 2 3	Z 2 4
S8 _	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	0	Z2 _	Z × Z 120	Z 2 4

Noter

↑ D.B. Fuks. Homotopigrupper af sfærerne (engelsk) . Encyclopedia of Mathematics. Hentet 5. november 2017. Arkiveret fra originalen 8. november 2017.

Litteratur

Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka , 1989.
Hatcher, Allen. Algebraisk topologi . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 978-0-521-79540-1 .