Homotopi grupper

Homotopigrupper er en invariant af topologiske rum, et af de grundlæggende begreber i algebraisk topologi .

Uformelt set klassificerer de kortlægninger fra multidimensionelle sfærer til et givet topologisk rum op til kontinuerlig deformation. Selvom det er let at definere, er homotopigrupper meget svære at beregne, selv for sfærer. Dette adskiller dem fra homologigrupper , som er lettere at tælle, men sværere at definere. Det enkleste specialtilfælde af homotopigrupper er den fundamentale gruppe .

Definition

Lad være et topologisk rum, ; er en enhedsterning, dvs. , og er grænsen for denne terning, dvs. et sæt af terningpunkter sådan, at eller 1 for nogle . Sættet af homotopiklasser af kontinuerlige kortlægninger , som er angivet (i øvrigt går til et punkt for alle kortlægninger og homotopier). På dette sæt kan multiplikationen af elementer defineres som følger: $x$ $x_{0}\i X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $t_{i}=0$ $jeg$ $[f]$ $f\colon I^{n}\til X$ $f(\partial I^{n})=x_{0}\in X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\partial I^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

hvor

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})

, hvis

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})

, hvis

{\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Siden på grænsen af terningen er multiplikationen korrekt defineret. Det er nemt at kontrollere, at det kun afhænger af homotopiklassen og . Denne multiplikation opfylder alle gruppens aksiomer . I tilfælde af at man opnår en sammensætning af lukkede stier og derfor er en fundamental gruppe . For n>1 kaldes de højere homotopigrupper. $f=g=x_{0}$ $[f*g]$ $[f]$ $[g]$ $n=1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

En kontinuerlig kortlægning af rum svarer til en homomorfi , og denne korrespondance er funktionel , det vil sige, at produktet af kontinuerlige kortlægninger svarer til produktet af homomorfismer af homotopigrupper , og den identiske kortlægning svarer til den identiske homomorfi . Hvis kortlægningen er homotop , så . $F\kolon (X,x_{0})\til (Y,y_{0})$ $F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\til \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $G$ $F_{*}=G_{*}$

Startpunktsafhængighed

I modsætning til homologigrupper indeholder definitionen af homotopigrupper et fornemt punkt . Faktisk er homotopigrupperne i tilfælde af stiforbundne rum ikke afhængige af valget af et punkt, selvom der i det generelle tilfælde ikke er nogen kanonisk isomorfisme. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Abelianitet af højere homotopigrupper

Mens den fundamentale gruppe generelt er ikke- abelsk , er de for alle n>1 abelske, det vil sige . Et visuelt bevis på dette faktum kan ses i følgende figur (lyseblå områder er kortlagt til en prik ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Relative homotopigrupper og nøjagtige homotopisekvenser

Relative homotopigrupper er defineret for et rum , dets underrum og et særskilt punkt . Lad være en enhedsterning ( ), være grænsen for denne terning, og lad a være forsiden af terningen defineret af ligningen . Sættet af homotopiklasser af kontinuerlige kortlægninger , for hvilke og på de andre flader er angivet (desuden går det til , og til et punkt for alle kortlægninger og homotopier). $x$ $A\delmængde X$ $x_{0}\i X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $I^{{n-1}}\delsæt \partial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[f]$ $f\colon I^{n}\til X$ $f\colon I^{{n-1}}\til A$ $f\colon \partial I^{n}\setminus \operatørnavn {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{{n-1}}$ $EN$ $\partial I^{n}\setminus \operatørnavn {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

På samme måde som før kan vi bevise, at for dette sæt danner en gruppe, den relative homotopi gruppe af orden . Hvis , så beviser den foregående figur, at det er Abelian. (For n=2 mislykkes beviset, da point kan gå til andre punkter end .) $n\geqslant 2$ $n$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $EN$ $x_{0}$

Indlejring inducerer en homomorfi , og indlejring (her skal det forstås som ) inducerer en homomorfi . Ethvert element er defineret af en afbildning , der især afbildes til , og f er identisk lig med , der definerer et element fra . Dermed får vi en kortlægning , som er en homomorfi. Vi har følgende rækkefølge af grupper og homomorfier: $i\kolon (A,x_{0})\til (X,x_{0})$ $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\til \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\kolon (X,x_{0})\til (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X,x_{0},x_{0})$ $j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\til \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $f$ $I^{{n-1}}$ $EN$ $\partial I^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots

Denne sekvens er nøjagtig , det vil sige, at billedet af enhver homomorfisme falder sammen med kernen i den næste homomorfi. Derfor, i det tilfælde, hvor for alle , er grænsehomomorfi en isomorfisme. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\partial \colon \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$

Historie

Den grundlæggende gruppe blev introduceret af skaberen af topologien Henri Poincaré , de højere homotopigrupper blev introduceret af Vitold Gurevich . På trods af enkelheden i deres definition er beregningen af specifikke grupper (selv for så simple rum som højdimensionelle sfærer S n (se homotopi grupper af sfærer ) ofte en meget vanskelig opgave, og generelle metoder blev kun opnået i midten af 20. århundrede med fremkomsten af spektralsekvenser .

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder og anvendelser. — M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Indledende topologiforløb. Geometriske hoveder. — M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Algebraisk topologi - homotopi og homologi. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989