Spektral sekvens

I homologisk algebra og algebraisk topologi er en spektralsekvens et middel til at beregne homologigrupper ved successive tilnærmelser. Siden deres introduktion af Jean Leray , er de blevet et vigtigt beregningsværktøj, især inden for algebraisk topologi, algebraisk geometri og homologisk algebra.

Formel definition

Vi fastsætter en abelsk kategori som f.eks. kategorien af moduler over en ring . Den spektrale sekvens består af et valgt ikke-negativt heltal r 0 og et sæt af tre sekvenser:

For alle heltal r ≥ r 0 , objekter E r , kaldet ark,
Endomorfismer d r : E r → E r opfylder d r o d r = 0, kaldet grænsekortlægninger eller differentialer,
Isomorfismer af E r+1 med H ( E r ), homologien af E r med hensyn til d r .

Normalt udelades isomorfismer mellem E r +1 og H ( E r ), og der skrives ligheder i stedet.

Det enkleste eksempel er kædekomplekset C • . Objektet C • fra den abelske kategori af kædekomplekser er udstyret med en differential d . Lad r 0 = 0 og E 0 være C • . Så vil E 1 være komplekset H ( C • ): det i -te medlem af dette kompleks er den i -te homologigruppe C • . Den eneste naturlige differens på dette nye kompleks er nulkortet, så vi sætter d 1 = 0. Så vil E 2 være det samme som E 1 , og igen er den eneste naturlige differens nulkortet. Hvis vi antager, at differentialet er nul for alle efterfølgende ark, får vi en spektralsekvens, hvis vilkår har formen:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) for alle r ≥ 1.

Betingelserne for denne spektrale sekvens stabiliseres fra det første ark, da den eneste ikke-trivielle forskel var på nularket. Derfor modtager vi ikke nye oplysninger i de efterfølgende trin. Normalt, for at få nyttige oplysninger fra efterfølgende ark, skal du have en ekstra struktur på E r .

I den ovenfor beskrevne ugraderede situation er r 0 ikke ligegyldig, men i praksis forekommer de fleste spektralsekvenser i kategorien af dobbeltgraderede moduler over en ring R (eller dobbeltgraderede moduler over en ringstreng). I dette tilfælde er hvert ark et dobbeltgraderet modul og dekomponeres til en direkte sum af led med et led for hvert par grader. Grænsekortlægningen er defineret som den direkte sum af grænsekortlægningerne på hvert bladelement. Deres grad afhænger af r og fastsættes efter aftale. I tilfælde af en homologisk spektralsekvens betegner termerne og differentialerne har tograd (− r , r − 1). I tilfælde af en kohomologisk spektralsekvens betegner termerne og differentialerne har tograd ( r , 1 - r ). (Disse valg af grader opstår naturligt i praksis; se det dobbelte komplekse eksempel nedenfor.) Afhængig af spektralsekvensen har grænsekortet på det første ark en bigrad svarende til r = 0, r = 1 eller r = 2. for eksempel for det spektralsekvensfiltrerede kompleks beskrevet nedenfor, r 0 = 0, men for Grothendieck-spektralsekvensen r 0 = 2. $E_{p,q}^{r}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Lad E r være en spektral sekvens, der for eksempel begynder med r = 0. Så er der en sekvens af underobjekter

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2 }\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{0},

sådan at ; Faktisk tror og definerer vi på en sådan måde, at det er kernen og billedet ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r))$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Så formoder vi , da ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty ))

;

kaldes limit-medlemmet. (Selvfølgelig findes dette muligvis ikke i kategorien, men det er normalt ikke et problem, da der f.eks. findes sådanne grænser i kategorien moduler, eller fordi de spektralsekvenser, der arbejdes med i praksis, oftest degenererer; i sekvensen ovenfor er der kun et begrænset antal indeslutninger.) ${\displaystyle E_{\infty ))$

Visualisering

En dobbeltgraderet spektralsekvens indeholder mange data, men der er en visualiseringsmetode, der gør strukturen af spektralsekvensen mere forståelig. Vi har tre indekser, r , p og q . Lad os forestille os, at vi for hver r har et ark papir. På dette ark skal du lade p stige i vandret retning og q i lodret retning. På hvert punkt i gitteret har vi et objekt . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Typisk er n = p + q et andet naturligt indeks i spektralsekvensen. n øges diagonalt. I det homologiske tilfælde har differentialerne bidegree (− r , r − 1), så de falder n med 1. I det kohomologiske tilfælde øges n med 1. Hvis r er nul, flytter differentialet objekterne et trin op eller ned . Dette er som en differential i et kædekompleks. Hvis r er én, flytter differentialet objekterne et trin til venstre eller højre. Hvis r er lig med to, flytter differentialet objekter på samme måde som en ridders træk i skak. For store r virker differentialet som et generaliseret riddertræk.

Spektralsekvenskonstruktioner

Spektralsekvens af det filtrerede kompleks

Mange spektrale sekvenser kommer fra filtrerede cochain-komplekser. Dette er et cochain kompleks C • med et sæt af subkomplekser F p C • , hvor p er et vilkårligt heltal. (I praksis er p normalt afgrænset på den ene side.) Grænsekortlægningen skal være i overensstemmelse med denne filtrering; dvs. d ( F p Cn ) ⊆ F p Cn + 1 . Vi anser filtreringen for at være aftagende, det vil sige F p C • ⊇ F p+1 C • . Vi vil nummerere vilkårene for cochain-komplekset med indekset n . Senere vil vi også antage, at filtreringen er Hausdorff eller adskillelig, det vil sige, at skæringspunktet mellem alle F p C • er nul, og at filtreringen er udtømmende, det vil sige, at foreningen af alle F p C • er hele cochainen kompleks C • .

Filtrering er nyttig, fordi den giver et mål for nærhed til nul: Når p stiger, kommer F p C • tættere på nul. Vi vil konstruere en spektral sekvens ud fra denne filtrering, hvor coboundaries og cocycles i efterfølgende blade kommer tættere og tættere på coboundaries og cocycles af det oprindelige kompleks. Denne spektrale sekvens vil blive graderet to gange efter filtreringsgraden p og den komplementære grad {{{1}}} . (Den komplementære potens er ofte et mere bekvemt indeks end n . Dette er f.eks. tilfældet for den binære komplekse spektralsekvens beskrevet nedenfor.)

Vi vil konstruere denne spektrale sekvens manuelt. C • har kun én klassificering og filtrering, så vi konstruerer først et dobbeltgraderet objekt ud fra C • . For at få den anden graduering går vi videre til det tilhørende graduerede objekt med hensyn til filtrering. Vi vil betegne det på en usædvanlig måde, som vil blive begrundet i trin E 1 :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Da vi antog, at grænsekortlægningen er i overensstemmelse med filtreringen, er E 0 et dobbeltgraderet objekt, og der er en naturlig dobbeltgraderet grænsekortlægning d 0 på E 0 . For at få E 1 tager vi homologien af E 0 .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ højrepil F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\højrepil F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Bemærk, at og kan beskrives som billeder i ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q))$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\højrepil C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ højrepil C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

og hvad har vi

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{p,q))$ er præcis, hvad differentialet flytter et niveau op ad filtreringen, og er nøjagtigt billedet af, hvad differentialet flytter nul niveauer op ad filtreringen. Dette tyder på, at vi bør definere som hvad differentialet flytter r niveauer op i filtreringen og som billedet af hvad differentialet flytter r-1 niveauer op i filtreringen. Med andre ord skal spektralsekvensen opfylde ${\displaystyle B_{1}^{p,q))$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q))$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\højrepil C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\højrepil C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

og vi skal have forholdet

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

For at dette giver mening, skal vi finde differentialet d r på hver E r og kontrollere, at dens homologi er isomorf med E r+1 . Differential

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

er defineret som begrænsningen af den oprindelige differentiale dc til subobjektet . $C^{p+q}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$

Det er let at kontrollere, at homologien af E r med hensyn til denne differential er E r+1 , så vi får en spektralsekvens. Desværre er forskellen ikke beskrevet særlig tydeligt. At finde differentialer, eller måder at undvære dem, er et af hovedproblemerne, der står i vejen for en vellykket anvendelse af spektralsekvensen.

Spektralsekvens af dobbeltkomplekset

En anden hyppig spektralsekvens er spektralsekvensen af dobbeltkomplekset. Et dobbeltkompleks er et sæt af objekter C i, j for alle heltal i og j , sammen med to differentialer, d I og d II . Ved konvention reducerer d I i og d II reducerer j . Desuden antager vi, at disse to differentialer antipendler, således at d I d II + d II d I = 0. Vores mål er at sammenligne de itererede homologier og . Det gør vi ved at filtrere vores dobbeltkompleks på to måder. Her er vores filtre: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}j\geq p\end{cases}}

For at få den spektrale sekvens reducerer vi situationen til det foregående eksempel. Vi definerer et samlet kompleks T ( C •,• ) som et kompleks, hvis n'te led er dette , og hvis differentiale er d I + d II . Dette er et kompleks, da d I og d II er anti-pendlingsforskelle. To filtreringer på C i, j inducerer to filtreringer på det totale kompleks: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j))$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

For at vise, at disse spektralsekvenser giver information om itereret homologi, beskriver vi termerne E 0 , E 1 og E 2 for filtreringen I på T ( C •,• ). E 0 -medlemmet er simpelt:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

hvor n = p + q .

For at finde udtrykket E 1 skal vi beskrive d I + d II på E 0 . Bemærk at differentialet skal have grad −1 i forhold til n , så vi får afbildningen

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet})_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet})_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Derfor er differentialet på E 0 kortet C p , q → C p , q −1 , induceret af d I + d II . Men d I har den forkerte grad til at inducere sådan en kortlægning, så d I skal være nul på E 0 . Det betyder, at differentialet er nøjagtigt d II , så vi får

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

For at finde E 2 skal vi definere

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet})\højrepil H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet })

Da E 1 nøjagtigt er homologien med hensyn til d II , er d II nul på E 1 . Derfor får vi

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Ved at bruge en anden filtrering får vi en spektralsekvens med et lignende udtryk E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Det er tilbage at finde en sammenhæng mellem disse spektralsekvenser. Det viser sig, at når r stiger, bliver de to sekvenser ens nok til at lave brugbare sammenligninger.

Konvergens og degeneration

I det elementære eksempel, vi startede med, var bladene i spektralsekvensen konstante fra r =1. I denne situation giver det mening at tage grænsen for en sekvens af ark: da der ikke sker noget efter nularket, er grænsearket for E ∞ det samme som E 1 .

I mere generelle situationer findes grænseark ofte og er altid interessante. De er et af de vigtigste aspekter af spektralsekvenser. Vi siger, at en spektral sekvens konvergerer til, hvis der eksisterer r ( p , q ), således at for alle r ≥ r ( p , q ) er forskellene og nul. Heraf følger, at den vil være isomorf for store r . Dette er angivet som følger: ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q))

Her betegner p filtreringsindekset. Udtrykket er ofte skrevet på venstre side af konvergensen , fordi det er det mest nyttige udtryk i mange spektralsekvenser. ${\displaystyle E_{2}^{p,q))$

I de fleste spektrale sekvenser er udtrykket ikke naturligt dobbeltgraderet. I stedet er der normalt medlemmer med naturlig filtrering . I disse tilfælde antager vi . Vi definerer konvergens på samme måde som før, men vi skriver ${\displaystyle E_{\infty ))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n))

hvilket betyder, at når p + q = n , konvergerer til . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

Det enkleste tilfælde, hvor vi kan etablere konvergens, er når spektralsekvensen degenererer. Vi siger, at en spektralsekvens degenererer i det r. blad, hvis for nogen s ≥ r differentialet d s er nul. Dette indebærer, at E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … Især følger det, at E r er isomorf til E ∞ . Dette er, hvad der skete i det første trivielle eksempel på et ufiltreret kædekompleks: spektralsekvensen degenererede i det første blad. Generelt, hvis en dobbeltgraderet spektralsekvens er nul uden for et vandret eller lodret bånd, degenererer spektralsekvensen, da senere differentialer altid kommer ind i eller kommer fra et objekt uden for båndet.

En spektralsekvens konvergerer også, hvis den forsvinder for alle p mindre end nogle p 0 og for alle q mindre end nogle q 0 . Hvis p 0 og q 0 kan vælges til at være nul, kaldes dette en første kvadrant spektralsekvens . Denne sekvens konvergerer, fordi hvert objekt er i en fast afstand fra grænsen af ikke-nul-området. Derfor, for fast p og q , afbildes differentialet på senere ark altid til eller fra nul-objektet. På samme måde konvergerer en spektralsekvens også, hvis den forsvinder for alle p større end nogle p 0 og for alle q større end nogle q 0 . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Litteratur

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotopi topologi kursus. - M. : Nauka, 1989. - 528 s.
Hatcher, Allen, Spektralsekvenser i algebraisk topologi