Homeomorfisme

Homeomorfisme ( græsk ὅμοιος - lignende, μορφή - form) er en en-til-en og gensidigt kontinuerlig kortlægning af topologiske rum . Med andre ord er det en bijektion , der forbinder to rums topologiske strukturer, da billederne og omvendte billeder af åbne delmængder under kontinuiteten af bijektionen er åbne mængder, der bestemmer topologierne for de tilsvarende rum.

De rum, der er forbundet med en homeomorfisme, er topologisk ude af skel. Vi kan sige, at topologi studerer egenskaberne af objekter, der er uændrede under homøomorfi.

I kategorien topologiske rum betragtes kun kontinuerlige kortlægninger, så i denne kategori er en isomorfisme også en homeomorfisme.

Definition

Lad og være to topologiske rum . En funktion kaldes en homeomorfisme, hvis den er en-til-en , og både selve funktionen og dens inverse er kontinuerlige . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \til Y$ $f$ $f^{-1}$

Relaterede definitioner

Rum i dette tilfælde kaldes også homeomorfe eller topologisk ækvivalente . $x$ $Y$
- Dette forhold betegnes normalt som . $X\simeq Y$
En egenskab ved et rum kaldes topologisk, hvis den er bevaret under homeomorfismer. Eksempler på topologiske egenskaber: alle typer af adskillelighed i topologiske rum, sammenhæng og afbrydelse , lineær sammenhæng , kompakthed , simpel sammenhæng , metriserbarhed , samt lokale analoger af de anførte egenskaber (lokal sammenhæng, lokal lineær sammenhæng, lokal kompakthed, lokal simpel sammenhæng , lokal metriserbarhed), egenskab til at være topologisk manifold , finit-dimensionalitet, uendelig-dimensionalitet og dimension af topologiske manifolder osv.
En lokal homeomorfisme af rum er et kontinuerligt surjektivt kort , hvis hvert punkt har et kvarter , således at begrænsningen til er en homøomorfi mellem og dets billede . $f:X\til Y$ $x\i X$ $U\ni x$ $f$ $U$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $U$ $f(U)$
- Eksempel. Kortlægningen er en lokal homeomorfisme mellem den reelle linje og cirklen . Disse rum er dog ikke homøomorfe, for eksempel fordi cirklen er kompakt, mens linjen ikke er det. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Homeomorfisme-sætning

Lad være et interval på tallinjen (åben, halvåben eller lukket). Lad være en bijektion. Så er en homeomorfisme hvis og kun hvis er strengt monoton og kontinuerlig på $|a,b|\subset \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\undersæt \R$ $f$ $f$ $|a,b|.$

Eksempel

Et vilkårligt åbent interval er homøomorft til hele tallinjen . En homøomorfisme gives for eksempel ved formlen $(a,b) \subset \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\venstre(\pi\frac{xa}{ba}\højre).

Et interval er homeomorphic til et segment i den diskrete topologi , men ikke homeomorphic i standard tallinje topologi. $(0, \; 1)$ $[0, \; en]$

Se også

Noter

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse. - M . : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M. : FAZIS, 1997. - Udgave. 3. - xii + 132 s. - (Bibliotek af en studerende-matematiker). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Differentialgeometri og topologielementer . - YaGPU , 2007.
Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.