Weils hypoteser

Weils formodninger er matematiske formodninger om lokale zeta-funktioner af projektive varianter over begrænsede felter .

Weils formodninger siger, at lokale zeta-funktioner skal være rationelle , opfylde en funktionel ligning og have deres nuller på de kritiske linjer. De sidste 2 hypoteser ligner Riemann-hypotesen for Riemann zeta-funktionen .

Hypoteser i generel form blev formuleret af André Weil i 1949, rationalitet blev bevist af Bernard Dwork i 1960, en funktionel ligning af Alexander Grothendieck i 1965, en analog til Riemann-hypotesen af Pierre Deligne i 1974 [1] .

Udtalelse af Weyls hypoteser

Lad være en ikke-singular- dimensional projektiv algebraisk variation over et begrænset felt . Dens kongruens zeta funktion er defineret som $x$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k} \ret),

hvor er antallet af punkter over den dimensionelle forlængelse af feltet . Lokal zeta funktion . $N_{k}$ $x$ $k$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $\mathbb {F} _{q}$ $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$

Weyls hypoteser siger følgende:

1. (Rationalitet) er en rationel funktion . Mere præcist kan det repræsenteres som et slutprodukt $Z(X,\;T)$ $T$ $Z(X,\;T)$

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1))={\frac {P_ {1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},

hvor hver er et polynomium med heltalskoefficienter. Desuden , og for alle over , og er nogle algebraiske heltal . $P_{i}(T)$ $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$ $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle \alpha _{ij))$

2. (Funktionel ligning og Poincaré-dualitet ) Zeta-funktionen opfylder relationen

\zeta (X,\;ns)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)

eller tilsvarende

Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\; T),

hvor er Euler -karakteristikken (selvskæringsindeks for diagonalen i ). $E$ $x$ $\Delta (X)$ $X\ gange X$

3. (Riemann-hypotese) for alle . Det følger heraf, at alle nuller ligger på den "kritiske linje" . $jeg,\;j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$ $P_{k}(q^{-s})$ $\operatørnavn {Re} s=k/2$

4. (Betti tal) Hvis er en god reduktion modulo en ikke- singular projektiv variation defineret over nogle tal felt indlejret i feltet af komplekse tal , så graden af , hvor er Betti tallet af rummet af komplekse punkter . $x$ $s$ $Y$ $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$ $\beta _{i}$ $Y$

Noter

↑ Deligne, Pierre . La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : tidsskrift. - Bures-sur-Yvette: Institut des hautes études scientifiques , 1974. - Vol. 43. - S. 273-307. — ISSN 0073-8301 . - doi : 10.1007/BF02684373 . — . — MR 340258 Arkiveret 3. november 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 s.