Hydrogenatom

Et brintlignende atom eller brintlignende ion er enhver atomkerne, der har én elektron [1] og derfor er isoelektronisk til et brintatom . Disse ioner bærer en positiv ladning , hvor er ladningstallet for kernen. Eksempler på hydrogenlignende ioner er He + , Li 2+ , Be 3+ og B 4+ . Da brintlignende ioner er to-partikelsystemer, hvis interaktion kun afhænger af afstanden mellem de to partikler, er deres (ikke-relativistiske) $e(Z-1)$ $Z$ Schrödinger-ligningen og den (relativistiske) Dirac-ligning har løsninger i analytisk form. Løsninger er en-elektronfunktioner og kaldes brintlignende atomorbitaler [2] .

Andre systemer kan også kaldes brintlignende, såsom muonium (en elektron bundet til en antimuon ), positronium (et system af elektron og positron ), visse eksotiske atomer (dannet med andre partikler) eller Rydberg-atomer (hvori en elektron er i kredsløb med så høj en energi, at resten af atomets partikler ligner en punktladning ).

Schrödingers løsning

I løsningen af den ikke-relativistiske Schrödinger-ligning er brintlignende atomorbitaler egenfunktioner af en-elektrons vinkelmomentoperator L og dens z - komponent Lz . En brintlignende atomorbital er entydigt identificeret ved værdierne af det primære kvantetal n , det vinkelmomentum kvantetal l og det magnetiske kvantetal m . Energiegenværdierne afhænger ikke af l eller m , men udelukkende af n . Til dem skal lægges det toværdierede spin - kvantetal m s = ± ½ . Dette skaber grundlaget for Klechkovsky-reglen , som begrænser de tilladte værdier af de fire kvantetal i de elektroniske konfigurationer af atomer med et stort antal elektroner. I hydrogenlignende atomer danner alle degenererede orbitaler med fast n og l , m og m s , varierende mellem visse værdier (se nedenfor), en atomisk elektronskal .

Schrödinger-ligningen for atomer eller atomioner med mere end én elektron er ikke blevet løst analytisk på grund af beregningsmæssig kompleksitet forårsaget af Coulomb-interaktionen mellem elektroner. I dette tilfælde anvendes numeriske metoder til at opnå (tilnærmelsesvis) bølgefunktioner eller andre egenskaber fra kvantemekaniske beregninger. På grund af sfærisk symmetri ( Hamiltonianeren ) er atomets samlede impulsmoment, J , en bevaret størrelse. Mange numeriske procedurer bruger produkter af atomare orbitaler, som er egenfunktioner af en- elektronoperatorerne L og Lz . De radiale dele af disse atomare orbitaler er nogle gange repræsenteret som tabeller eller nogle gange Slater orbitaler . Vinkelmomentrelaterede funktioner bruges til at konstruere multielektronegenfunktionerne J 2 (og muligvis S 2 ).

I kvantekemiske beregninger kan brintlignende atomorbitaler ikke tjene som grundlag for udvidelse, fordi den ikke er komplet. For at opnå et komplet sæt, er det nødvendigt at supplere basis med kvadratiske ikke-integrerbare tilstande af kontinuummet ( E > 0 ), det vil sige at dække hele en-elektron Hilbert-rummet [3] .

I den enkleste model er de atomare orbitaler af brintlignende ioner løsninger af Schrödinger-ligningen i et sfærisk symmetrisk potentiale. I dette tilfælde er den potentielle energi givet af Coulombs lov :

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}},

hvor

ε 0 - permittivitet af vakuum ,
Z er ladningstallet (antallet af protoner i kernen),
e - elementær ladning (elektronladning),
r er afstanden mellem elektronen og kernen.

Efter at have skrevet bølgefunktionen som et produkt af funktioner:

\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,

(i sfæriske koordinater ), hvor er sfæriske harmoniske , når vi frem til følgende Schrödinger-ligning: $Y_{{lm}}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\venstre[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2 }{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)= ER(r),

hvor er den reducerede elektronmasse og er den reducerede Planck-konstant . $\mu$ $\hbar$

Forskellige værdier af l giver løsninger med forskellig vinkelmomentum , hvor l (et ikke-negativt heltal) er kvantetallet for det orbitale vinkelmoment . Det magnetiske kvantetal m (der opfylder betingelsen ) er projektionen af det orbitale vinkelmoment på z- aksen . $-l\leq m\leq l$

Ikke-relativistisk bølgefunktion og energi

Ud over l og m opnås et tredje heltal n > 0 fra de randbetingelser, der pålægges den radiale bølgefunktion R. Funktionerne R og Y , som giver løsningen til ligningen ovenfor, afhænger af værdierne af disse heltal, kaldet kvantetal . Bølgefunktioner tildeles normalt værdierne af kvantetal, som de afhænger af. Det endelige udtryk for den normaliserede bølgefunktion:

\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi ),

R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu ))}\right)}^{3}{\frac {(nl-1) !}{2n[(n+l)!]}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\venstre({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right) ^{l}L_{nl-1}^{2l+1}\venstre({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right),

hvor

$L_{nl-1}^{2l+1}$ er generaliserede Laguerre polynomier .
$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2)) \over {\mu e^{2))}={\frac {\hbar c}{\ alpha \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \over {\mu }}a_{0},$

hvor α er finstrukturkonstanten . er den reducerede masse af kerne-elektronsystemet, det vil sige hvor er kernens masse. Som regel er kernen meget mere massiv end elektronen, så (Men for positronium )

\mu

\mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}},

m_{\mathrm {N} }

\mu \approx m_{\mathrm {e} }.

\mu =m_{\mathrm {e} }/2.

$E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^ {2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\venstre({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\ mu }^{2))}\right){\frac {1}{n^{2))}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2)) {2n^{2}}}.$
$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ er en sfærisk harmonisk .

Pariteten på grund af vinkelbølgefunktionen er lig med . ${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{l))$

Kvantetal

Kvantetal n , l og m er heltal, der har følgende værdier:

n=1,2,3,4,\dots ,

l=0,1,2,\dots ,n-1,

m=-l,-l+1,\ldots ,0,\ldots ,l-1,l.

Den teoretiske fortolkning af disse kvantetal er givet i denne artikel . Denne artikel giver blandt andet en gruppeteoretisk begrundelse for hvorfor og også $l<n\,$ $-l\leq m\leq \,l.$

Vinkelmoment

Hver atomorbital er forbundet med en orbital vinkelmoment L. Dette er en vektoroperator og egenværdierne af dens kvadrat L 2 ≡ L2
x+ L2 år _
+ L2z _
defineret som

L^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}.

Projektionen af denne vektor på en vilkårlig retning er kvantiseret . Hvis en vilkårlig retning kaldes z , er kvantiseringen defineret som

L_{\mathrm {z} }Y_{lm}=\hbar mY_{lm},

hvor m er begrænset som beskrevet ovenfor. Bemærk at L 2 og L z pendler og har en fælles egentilstand, hvilket er i overensstemmelse med Heisenbergs usikkerhedsprincip . Da L x og L y ikke pendler med L z , er det umuligt at finde en tilstand, der er en egentilstand af alle tre komponenter på samme tid. Værdierne af x- og y - komponenterne er derfor ikke nøjagtige, men er givet af en sandsynlighedsfunktion med begrænset bredde. Det faktum, at x- og y - komponenterne af den orbitale vinkelmomentvektor ikke er veldefinerede, indebærer, at retningen af den orbitale vinkelmomentvektor heller ikke er defineret, selvom dens komponent langs z -aksen er veldefineret.

Disse relationer giver ikke elektronens samlede impulsmoment. For at finde det samlede vinkelmomentum skal elektronernes spin tages i betragtning.

Denne kvantisering af vinkelmomentum korrelerer tæt med Niels Bohrs (se Bohr-modellen ) 1913 foreslåede model af atomet uden kendskab til bølgefunktionerne.

Aktivering af spin-orbit-interaktion

I et rigtigt atom kan spin af en bevægende elektron interagere med det elektriske felt af kernen gennem relativistiske effekter, et fænomen kendt som spin-orbit interaktion . Når denne kobling tages i betragtning, bevares spin og orbitalmomentum ikke længere separat, hvilket kan repræsenteres som elektronpræcession . Derfor er det nødvendigt at erstatte kvantetallene l , m og spinprojektionen m s med kvantetal , der repræsenterer det samlede vinkelmomentum (inklusive spin): j og m j , samt kvanteparitetstallet .

Løsning af Dirac-ligningen

I 1928 udledte den engelske fysiker Paul Dirac en ligning , der i modsætning til Schrödinger-ligningen er fuldt ud kompatibel med den særlige relativitetsteori . Diracs ligning for brintlignende atomer blev løst samme år (forudsat et simpelt Coulomb-potentiale omkring en punktladning) af Walter Gordon . I stedet for én (muligvis kompleks) funktion, som i Schrödinger-ligningen, skal der findes fire komplekse funktioner, der udgør bispinoren . Den første og anden funktion (eller spinor-komponenter) svarer (på sædvanlig basis) til "spin-up" og "spin-down"-tilstandene, som for den tredje og fjerde komponent.

Udtrykkene "spin-up" og "spin-down" refererer til den valgte retning, som normalt er z -retningen . En elektron kan ikke kun være i en af disse rene tilstande, men også i en superposition af spin op og spin ned tilstande, hvilket svarer til en rotationsakse, der peger i en anden retning. Rotationstilstanden kan afhænge af placeringen.

En elektron i nærheden af kernen, hvor dens hastighed kan nærme sig den relativistiske, har nødvendigvis ikke-nul amplituder for den tredje og fjerde komponent. Væk fra kernen kan de være små, men nær kernen bliver de store.

Hamiltonianerens egenfunktioner , dvs. funktioner, der har en bestemt energi (og som derfor er stationære - udvikler sig ikke med tiden bortset fra et faseskift) har energier, der ikke kun afhænger af hovedkvantetallet n , som for Schrödinger-ligningen, men også af kvantetallet af det samlede vinkelmoment j . Kvantetallet j bestemmer summen af kvadraterne af tre vinkelmomenter, som er lig med j · ( j + 1) (multipliceret med kvadratet af Plancks konstant ħ 2 ). Disse vinkelmomenter omfatter både orbitalt vinkelmomentum (relateret til vinkelafhængigheden af ψ ) og spinmomentum (relateret til elektronens spintilstand). Opdelingen af energierne i tilstande med det samme hovedkvantetal n på grund af forskelle i j kaldes finstruktur . Værdien af kvantetallet af det totale vinkelmomentum j er i området fra 1/2 til n − 1/2 med et trin på 1.

Orbitaler for en given tilstand kan skrives ved hjælp af to radiale funktioner og to vinkelfunktioner. De radiale funktioner afhænger af både det primære kvantetal n og hele tallet k , defineret som:

k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l+{\tfrac {1}{2)),\\+ j+{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l-{\tfrac {1}{2)),\end{cases}}

hvor l er det orbitale kvantetal i området fra 0 til n − 1 . Vinkelfunktionerne afhænger af k og af kvantetallet m , som varierer fra -j til j i enhedstrin. Stater er mærket med de latinske bogstaver S, P, D, F og så videre for at angive tilstande med l lig med 0, 1, 2, 3 og så videre (se orbital kvantetal ), med indekset givet ved j . For eksempel er tilstandene for n = 4 angivet i følgende tabel (de skal have n foran , for eksempel 4S 1/2 ):

	m = −7/2	m = −5/2	m = −3/2	m = −1/2	m = 1/2	m = 3/2	m = 5/2	m = 7/2
k = 3, l = 3		F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2
k = 2, l = 2			D3 /2	D3 /2	D3 /2	D3 /2
' 'k= 1,l = 1				P 1/2	P 1/2
k = 0
k = −1, l = 0				S 1/2	S 1/2
k = −2, l = 1			P 3/2	P 3/2	P 3/2	P 3/2
k = −3, l = 2		D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2
k = −4, l = 3	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2

Disse betegnelser kan også suppleres med indekset m . Antallet af tilstande med hovedkvantetal n er 2 n 2 , hvoraf der for enhver tilladt j er 4 j + 2 tilstande, bortset fra den største ( j = n − 1/2 ), for hvilken der kun er 2 j + 1 stater. Da alle orbitaler med givne værdier af n og j har samme energi i henhold til Dirac-ligningen, danner de basis for det rum af funktioner, der har denne energi - hver af de tilladte funktioner kan repræsenteres som en superposition af disse basis funktioner.

Energi som funktion af n og | k | (hvor modulet af k pr. definition er j + 1/2 ) er

{\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k| +{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\ ca. \mu c^{2}\venstre\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\venstre[1+{\dfrac {Z^{ 2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}. \end{array}}

(Energien afhænger selvfølgelig af det anvendte nulpunkt.) Bemærk, at hvis vi tager Z større end 137 (højere end kerneladningen af et kendt grundstof), så ville vi have en negativ værdi under kvadratroden for S. 1/2 og P orbitaler 1/2 , hvilket betyder, at de ikke ville eksistere. Schrödinger-løsningen svarer til at erstatte den indvendige parentes i det andet udtryk med 1. Nøjagtigheden af energiforskellen mellem de to laveste brinttilstande, beregnet ud fra Schrödinger-opløsningen, er omkring 9 ppm ( 90 μ eV mindre end den eksperimentelle værdi af omkring 10 eV ), mens nøjagtigheden af Dirac-ligningen for den samme energiforskel er omkring 3 milliontedele (og mere end den eksperimentelle værdi). Schrödinger-løsningen giver altid tilstandens energi noget højere end den mere nøjagtige Dirac-ligning. Dirac-ligningen giver nogle niveauer af brint ret præcist (for eksempel giver beregningen for 4P 1/2 -tilstanden en energi, der kun er 2⋅10 -10 eV højere end eksperimentet), andre er noget mindre nøjagtige (f.eks. den beregnede energien af 2S 1/2 niveauet er 4⋅10 -6 eV under den eksperimentelle værdi) [4] . Ændringen i energi på grund af brugen af Dirac-ligningen frem for Schrödinger-løsningen er af størrelsesordenen α 2 , og af denne grund kaldes α for finstrukturkonstanten .

Løsningen af Dirac-ligningen for kvantetal n , k og m har formen:

$\Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k} (r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{ -1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\- g_{n,k}(r)r^{-1}\operatørnavn {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)))Y_{ k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}- m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operatørnavn { sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)))Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi ) \end{pmatrix}},$

hvor Ω s er søjlerne af de to sfæriske harmoniske funktioner , vist til højre. betegner den sfæriske harmoniske funktion $Y_{a,b}(\theta ,\phi )$

Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{ \frac {(ab)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi },&{\text{if }}a >0,\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi ),&{\text{if }}a<0,\end{cases}}

hvor er de tilhørende Legendre polynomier . (Denne definition af Ω inkluderer sfæriske harmoniske, der ikke eksisterer, såsom , men faktoren foran dem er nul.) ${\displaystyle P_{a}^{b))$ $Y_{0,1}$

Nogle hjørnefunktioner er skrevet ud nedenfor. Normaliseringsfaktoren er udeladt for at forenkle udtryk.

\Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1)),

\Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0)),

\Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r)),

\Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r)).

Dette viser, at for S 1/2 ( k = −1) orbitalen har de to øverste komponenter af Ψ nul banemomentum, som for S-orbitalen i Schrödinger, men de to nedre komponenter er orbitaler svarende til P-orbitalerne af Schrödinger. I løsningen P 1/2 ( k = 1 ) er situationen omvendt. I begge tilfælde ophæver spindet af hver komponent dens orbitale vinkelmomentum omkring z - aksen for at give den korrekte værdi for det samlede vinkelmomentum omkring z - aksen .

De to spinorer Ω adlyder forholdet:

\Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _ {-k,m}.

For at skrive funktioner og definere en ny, skaleret radial variabel ρ: $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$

\rho \equiv 2Cr

med koefficient

C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2))}{\hbar c)),

hvor E er energien ( ) skrevet ovenfor. Vi definerer γ som $E_{n\,j}$

\gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}.

Når k = − n (som svarer til det maksimalt mulige j for en given n - et tilfælde, der er realiseret for sådanne orbitaler som 1S 1/2 , 2P 3/2 , 3D 5/2 ...), så er og også fundet af formlerne $g_{n,k}(r),$ $f_{n,k}(r)$

g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

hvor A er en normaliseringskonstant inklusive gammafunktionen

A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )))}.

Bemærk, at på grund af Z -faktoren α er funktionen f ( r ) lille sammenlignet med g ( r ) for kerner med ikke for meget ladning. Bemærk også, at i dette tilfælde er energien givet ved tilnærmelsen

E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}

og den radiale henfaldskonstant C er

C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.

I det generelle tilfælde (når k ikke er lig med - n ), og er baseret på to generaliserede Laguerre polynomier af orden og : $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$ $n-|k|-1$ $n-|k|$

g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{ 2\gamma +1}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\right),

f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1 }^{2\gamma +1}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\right).

Normaliseringskonstanten A er her defineret som

A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt ({\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac { (n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Eks. }{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)))

Igen er f lille sammenlignet med g (bortset fra meget lille r ), fordi når k er positiv, dominerer det første led af summen i parentes, og α er stort sammenlignet med γ - k , og når k er negativ, led dominerer og α er lille sammenlignet med med γ − k . Bemærk, at det dominerende led er ret lig den tilsvarende Schrödinger-løsning - overskriften af Laguerre-polynomiet er lidt mindre ( 2 γ + 1 eller 2 γ − 1 i stedet for 2 l + 1 , som er det nærmeste heltal), ligesom potens af ρ ( γ eller γ − 1 i stedet for l , det nærmeste heltal). Det eksponentielle henfald er lidt hurtigere end i Schrödinger-løsningen.

1S orbital

Orbital 1S 1/2 , spin op, med normaliseringskonstant udeladt:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}.

Bemærk, at γ er lidt mindre end 1, så topfunktionen ligner en eksponentielt aftagende funktion af r , bortset fra meget lille r , hvor den teoretisk går til uendelig. Men værdien overstiger kun 10, når værdien af r er mindre end dette meget lille tal (meget mindre end protonens radius), medmindre Z er meget stor. $r^{\gamma -1}$ $10^{1/(\gamma -1)},$

Orbital 1S 1/2 , spin down, med normaliseringskonstanten udeladt, har formen:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix)).

Vi kan blande dem for at få superposition orbitaler med spin orienteret i en anden retning, som sådan:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e ^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{- Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}},

som svarer til spin og vinkelmomentum rettet langs x -aksen . Tilføjelse af en spin-down orbital ganget med i med en spin-up orbital resulterer i en y - orienteret orbital .

2P 1/2 - og 2S 1/2 -orbitaler

Lad os tage et andet eksempel. 2P 1/2 -orbital, spin op, proportional

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac { \gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\venstre(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\ højre)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\venstre((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\ gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}.

(Det skal huskes, at ρ = 2 rC . Den radiale henfaldskonstant C er halvdelen af den for 1S orbitaler (da hovedkvantetallet er dobbelt så stort), men γ forbliver det samme (da k 2 er det samme).

Bemærk, at når ρ er lille sammenlignet med α (eller r er lille sammenlignet med ), dominerer "S"-typens orbital (den tredje komponent af bispinoren). $\hbar c/(\mu c^{2})$

For 2S 1/2 orbital , spin op, har vi

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac { \gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\ rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma ) \right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\venstre((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}

Nu er den første komponent S-lignende, og der er en afstand omkring ρ = 2, hvor den forsvinder, mens den nederste to-komponent-del er P-lignende.

Negative energiløsninger

Ud over bundne tilstande, hvor energien er mindre end energien af en elektron i det uendelige fra kernen, er der løsninger af Dirac-ligningen ved en højere energi, svarende til en ubundet elektron, der interagerer med kernen. Disse løsninger normaliseres ikke til én, men der kan findes løsninger, der går til nul, når r går til uendelig (hvilket ikke er muligt, når bortset fra ovenstående E -værdier i bundet tilstand ). Der er lignende løsninger med Disse negative energiløsninger ligner de positive energiløsninger med den modsatte energi, men for det tilfælde, hvor kernen frastøder elektronen i stedet for at tiltrække den, bortset fra at løsningerne for de to øverste komponenter er omvendt med løsningerne for de to nederste. $|E|<\mu c^{2},$ $E<-\mu c^{2}.$

Løsninger af Dirac-ligningen med negativ energi eksisterer selv i fravær af Coulomb-kraften skabt af kernen. Dirac foreslog, at vi kunne betragte næsten alle disse stater allerede fyldte (se Dirac Sea ). Hvis en af disse negative energitilstande ikke er fyldt, fremstår den som en elektron, der frastødes af den positivt ladede kerne. Dette fik Dirac til at antage, at der findes positivt ladede elektroner, og hans forudsigelse blev bekræftet af opdagelsen af positronen .

Grænser for anvendelighed af Gordon-løsningen af Dirac-ligningen

Dirac-ligningen med et simpelt Coulomb-potentiale skabt af en punkt ikke-magnetisk kerne var ikke det sidste ord, og dens forudsigelser adskiller sig fra eksperimentelle resultater, som tidligere nævnt. Mere præcise resultater omfatter Lamb shift ( strålingskorrektioner , der opstår fra kvanteelektrodynamik ) [5] og hyperfin struktur .

Noter

↑ Brintlignende atomer // Fysisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Lange linjer. - S. 300. - 707 s. — 100.000 eksemplarer.
↑ I kvantekemi er en orbital synonym med en "en-elektron funktion", der er integrerbar med kvadratet af funktionen , , . $x$ $y$ $z$
↑ Dette blev bemærket tilbage i 1928 af den norske teoretiker Egil Hilleros: Hylleraas EA Über den Grundzustand des Heliumatoms (tysk) // Zeitschrift für Physik. - 1928. - Bd. 48 . - S. 469-494 . - doi : 10.1007/BF01340013 . - .
Senere blev dette faktum igen bemærket i 1955 i værket: Shull H., Löwdin P.-O. Kontinuums rolle i superposition af konfigurationer // J. Chem. Phys.. - 1955. - Vol. 23 . - S. 1362 . - doi : 10.1063/1.1742296 .
↑ Beregninger fra tabel 4.1 i Felix Nendzig. Kvanteteorien om brintatomet . Hentet 20. oktober 2013. Arkiveret fra originalen 20. oktober 2013. (ubestemt)
↑ Vedrørende beregningen af strålingskorrektioner, se den ovenfor citerede bog af F. Nendzig, del 6.

Litteratur

Teschl G. Matematiske metoder i kvantemekanik; Med applikationer til Schrödinger- operatører . - American Mathematical Society , 2009. - ISBN 978-0-8218-4660-5 .
Tipler P., Llewellyn R. Modern Physics. - 4. udgave - New York: W.H. Freeman and Company, 2003.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Universalis