Indlejrede radikaler

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I algebra er en indlejret radikal en radikal indeholdt i en anden radikal. For eksempel

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

eller mere komplekst eksempel

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Værdierne af alle indlejrede radikaler kaldes radikal- udtrykkelige .

Forenkling af indlejrede radikaler

Nogle indlejrede radikaler kan forenkles. For eksempel:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

Generelt er forenkling et vanskeligt problem, hvis det overhovedet er muligt. Følgende formel giver mulighed for en forenkling, når den er rationel: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

For eksempel,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

Især for komplekse tal ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operatørnavn{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\right),

hvor

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Uendeligt indlejrede radikaler

Generelle bestemmelser

I nogle tilfælde kan uendeligt indlejrede radikaler være identiske med et eller andet rationelt tal, for eksempel udtrykket

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))))))

er lig med 2. For at se dette, lad os kvadrere begge sider af udtrykket og trække 2 fra:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots )))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Det kan naturligvis ikke være værdien af det oprindelige radikal. $-en$

Trivielle tilfælde

For kvadratrod: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
For roden til graden $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ hvor er løsningen af ligningen . $x$ $x^{n}-bx-a=0$

Ikke-trivielle tilfælde

Ramanujan formel : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots ))))))))))$

Særlige tilfælde

Gyldne forhold : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots ))))))))))$
plastik nummer : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Pi nummer : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$