Vektor bundt

Et vektorbundt er en specifik geometrisk konstruktion, der svarer til en familie af vektorrum, der er parametriseret af et andet rum ( det kan f.eks. være topologisk rum , manifold eller algebraisk struktur ): hvert punkt i rummet er forbundet med et vektorrum, således at deres forening dannes et rum af samme type som (topologisk rum, varietet eller algebraisk struktur osv.), kaldet rummet af et vektorbundt over . Selve rummet kaldes bundtet af bundtet . $x$ $x$ $x$ $x$ $V_{x}$ $x$ $x$ $x$

Et vektorbundt er en særlig type af lokalt trivielle bundter , som igen er en særlig type bundter .

Normalt betragter man vektorrum over reelle eller komplekse tal. I dette tilfælde kaldes vektorbundter for henholdsvis reelle eller komplekse. Komplekse vektorbundter kan betragtes som rigtige med en ekstra struktur.

Eksempler

Det enkleste eksempel er et trivielt bundt , som har form af et direkte produkt , hvor er et topologisk rum (bunden af bundtet), og er et vektorrum. $X\ gange V$ $x$ $V$
Et mere kompliceret eksempel er tangentbundtet af en glat manifold : hvert punkt på manifolden er forbundet med et tangentrum til manifolden på det punkt. Tangentbundtet kan generelt være ikke-trivielt.
Et andet eksempel på et ikke-trivielt bundt er Möbius-strimlen . Vi starter med et trivielt bundt af dimension 1 over et segment og limer linjerne i dets ender i henhold til reglen . Dette er et eksempel på et vektorbundt, der ikke kan orienteres. $[0,1]$ $[0,t]\sim [1,-t]$

Definitioner

Et vektorbundt er et lokalt trivielt bundt, hvis fiber er et vektorrum med en strukturgruppe af reversible lineære transformationer . $V$ $V$

Relaterede definitioner

Et underbundt U af et vektorbundt V på et topologisk rum X er en samling af lineære underrum , , som selv har strukturen som et vektorbundt. $U_{x}\subset V_{x}$ $x\i X$
Et linjebundt er et vektorbundt af rang 1.

Morfismer

En morfisme fra et vektorbundttil et vektorbundter givet ved et par kontinuerlige afbildningerogsådan, at ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1))$ ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2))$ $f\colon E_{1}\to E_{2}$ ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2))$

$g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
for enhver , den inducerede kortlægning er en lineær kortlægning af vektorrum. $x\in X_{1}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $f,$

Bemærk, at er defineret (da er en operation); i dette tilfælde siger de, at det dækker . $g$ $f$ $\pi_{1}$ $f$ $g$

Klassen af alle vektorbundter danner sammen med bundtmorfismer kategorien . Ved at begrænse os til vektorbundter, der er glatte manifolds og glatte morfismer af bundter, opnår vi kategorien glatte vektorbundter . Vektorbundtmorfismer er et særligt tilfælde af kortlægning af bundter mellem lokalt trivielle bundter, de kaldes ofte en homomorfi af (vektor)bundter .

Homomorfien af bundter fra til sammen med den omvendte homomorfi kaldes isomorfien af (vektor)bundter . I dette tilfælde kaldes bundterne isomorfe . En isomorfi af et vektorbundt (rang ) over til et trivielt bundt (rang over ) kaldes trivialisering , mens det kaldes trivielt (eller trivialiserbart ). Det fremgår tydeligt af definitionen af et vektorbundt, at ethvert vektorbundt er lokalt trivielt . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $E$ $x$ $k$ $x$ $E$ $E$

Operationer på bundter

De fleste operationer på vektorrum kan udvides til vektorbundter ved at gøre punktvis .

For eksempel, hvis et vektorbundt er på , så er der et bundt på , kaldet det dobbelte bundt , hvis fiber i et punkt er det dobbelte vektorrum . Formelt kan det defineres som et sæt af par , hvor og . Det dobbelte bundt er lokalt trivielt. $E$ $x$ $E^{*}$ $x$ $x\i X$ $(E_{x})^{*}$ $E^{*}$ $(x,\varphi )$ $x\i X$ $\varphi \in E_{x}^{*}$

Der er mange funktionelle operationer udført på par af vektorrum (på et enkelt felt). De strækker sig direkte til par af vektorbundter på (over et givet felt). Her er nogle eksempler. $E,F$ $x$

Whitney-summen , eller bundtet af den direkte sum af og, er et vektorbundtpå, hvis fiber i et punkter den direkte sum af vektorrummeneog. $E$ $F$ $E\oplus F$ $x$ $x$ $E_{x}\oplus F_{x}$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$

Et tensorproduktbundt defineres på samme måde ved at bruge punktvise tensorprodukter af vektorrum. $E\otimes F$

Et homomorfismebundt ( hom-bundle ) er et vektorbundt, hvis fiber i et punkt er rummet af lineære afbildninger fra til (ofte betegnet med eller ). Dette bundt er nyttigt, fordi der er en bijektion mellem homomorfismer af vektorbundter fra til til og dele til . $\operatørnavn {Hom} \,(E,F)$ $x$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$ $\operatørnavn {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ $L(E_{x},F_{x})$ $E$ $F$ $x$ $\operatørnavn {Hom} \,(E,F)$ $x$