Asfærisk rum

Et asfærisk rum er et topologisk rum , hvor alle undtagen trivielle homotopigrupper er trivielle. For symplektiske manifolds er betydningen af udtrykket lidt anderledes; se symplektisk asfærisk manifold . $\pi _{n}(X)$ $n=1$

Egenskaber

Ved Whiteheads sætning , er et CW-kompleks asfærisk, hvis og kun hvis dets universelle beklædning kan trækkes sammen .

Ethvert asfærisk rum er per definition et K(G,1) rum , hvor er den fundamentale gruppe . $x$ $G=\pi _{1}(X)$ $x$

Lad et asfærisk rum og vær et forbundet CW-kompleks . $x$ $K$
- Enhver kontinuerlig kortlægning fra 2-skelettet til kan udvides til en kontinuerlig kortlægning defineret på hele . $K$ $x$ $K$
- For enhver homomorfi af fundamentale grupper eksisterer der en kontinuerlig kortlægning , der inducerer . $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ $\varphi \colon K\to X$ $h$
  - Desuden er det unikt op til
homotopi-ækvivalens . $\varphi$

Direkte fra definitionen er et asfærisk rum klassificeringsrummet for dets fundamentale gruppe (som betragtes som en topologisk gruppe , når det er udstyret med den diskrete topologi ).

Alle kompakte overflader undtagen kuglen og det projektive plan er asfæriske.
En torus af enhver dimension er asfærisk.
Enhver hyperbolsk manifold er asfærisk.
Desuden er metriske rum med ikke-positiv krumning i Alexandrov -forstand (det vil sige lokalt CAT(0)-rum ) asfæriske. I tilfælde af Riemann-manifolder følger dette af Cartan-Hadamard-sætningen .
Knudens komplement ved er asfærisk af sfæresætningen $\mathbb {S} ^{3}$
Enhver nilmanifold er asfærisk.
Uendeligt dimensionelt linserum er asfærisk. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p))$