Asymmetrisk holdning
En asymmetrisk relation i matematik er en binær relation på et bestemt sæt , der har følgende egenskab "ikke-gensidighed" for nogen af dem [1] : hvis denne relation er forbundet med , er den ikke forbundet med . Formel notation:
Et eksempel er "mindre end" -forholdet mellem reelle tal : hvis , så er det umuligt at samtidigt . I modsætning hertil er forholdet "mindre end eller lig med" ikke asymmetrisk, da begge uligheder er sande i tilfælde: Et andet eksempel: forholdet "at være forælder".
Det følger af definitionen, at for en ikke-tom asymmetrisk relation er situationen umulig for ethvert element . Sådanne relationer kaldes antirefleksive (i anden terminologi, irrefleksive ).
Den asymmetriske antipode er den symmetriske relation , for hvilken relationen altid er gensidig: hvis så Den eneste binære relation, der er både symmetrisk og asymmetrisk, er den tomme relation .
Man bør ikke forveksle den asymmetriske og antisymmetriske relation - sidstnævnte udelukker ikke muligheden og samtidig, hvis ovennævnte relation "mindre end eller lig med" er antisymmetrisk, men ikke asymmetrisk. Generel regel [2] :
|
En binær relation er asymmetrisk, hvis og kun hvis den er antisymmetrisk og også antirefleksiv. |
Egenskaber
- Hvis en relation er asymmetrisk, så er dens vending og kontraktion også asymmetriske. For eksempel er begrænsningen af den reelle relation "mindre end" til heltal asymmetrisk, og det samme er dens vending - relationen "større end".
- En transitiv relation er asymmetrisk, hvis og kun hvis den er antirefleksiv [3] . Faktisk, og i kraft af transitivitet, antyder det , hvorfra det er klart, at "gensidige relationer" er umulige.
- Konsekvens: En relation er transitiv og asymmetrisk, hvis og kun hvis det er en streng partiel orden .
- Ikke alle asymmetriske relationer repræsenterer en streng delrækkefølge. Eksempel: Et sten-papir-saks- forhold er asymmetrisk, men ikke transitivt (ikke engang "anti-transitivt"):
- hvis han sejrer , så sejrer han ikke
- hvis han sejrer og sejrer , så sejrer han ikke .
- En asymmetrisk relation behøver ikke at være komplet [ , det vil sige, at der ikke er nogen garanti for, at for et hvilket som helst par af elementer , eller holder .
Ansøgning
Se for eksempel Tarskis aksiomatik for reelle tal - et af aksiomerne i den kræver asymmetrien i " mindre end "-relationen.
Noter
- ↑ Gries, David & Schneider, Fred B. (1993), A Logical Approach to Discrete Math , Springer-Verlag, s. 273 .
- ↑ Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography , Springer-Verlag, s. 158 .
- ↑ Flaška, V.; Flaška, V.; Jezek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive lukninger af binære relationer I (engelsk) . - Prag: School of Mathematics - Physics Charles University, 2007. - S. 1. Arkiveret kopi (utilgængeligt link) . Hentet 2. september 2018. Arkiveret fra originalen 2. november 2013. Lemma 1.1(iv). Bemærk, at denne kilde henviser til asymmetriske relationer som "strengt antisymmetriske".
Litteratur
- Aleskerov F. T., Khabina E. L., Shvarts D. A. Binære relationer, grafer og kollektive løsninger. - M . : Lærebøger fra den højere økonomiskole, 2006. - 300 s.