Algebra Clifford

Clifford-algebraen er en speciel form for associativ enhedsalgebra over en eller anden kommutativ ring ( er et vektorrum eller mere generelt et frit -modul) med en eller anden operation ["multiplikere"] der falder sammen med den bilineære form givet på . $Cl(E, Q(,))$ $K$ $E$ $K$ $E$ $Q$

Betydningen af konstruktionen er en associativ udvidelse af rummet E ⊕ K og multiplikationsoperationen på det, så kvadratet på sidstnævnte falder sammen med den givne andengradsform Q. Først betragtet af Clifford . Clifford algebraer generaliserer komplekse tal , parakomplekse tal og dobbelttal , også bikomplekse tal , kvaternioner osv.: deres familie dækker udtømmende alle associative hyperkomplekse tal .

Formel definition

Lad være en kommutativ ring med identitet, være et gratis K - modul , og være en andengradsform på . Clifford-algebraen af en kvadratisk form (eller par ) er kvotientalgebraen for en tensoralgebra , -modul af et tosidet ideal , genereret af elementer i formen $K$ $E$ $Q$ $E$ $Q$ $(E, Q)$ $Cl(E, Q)$ $T(E)$ $K$ $E$

x\otimes xQ(x)1,~~x\in E

Elementer (vektorer) fra , som er tensorer af rang 1, betragtes også som elementer af , og den tilsvarende kortlægning er en monomorfi (indlejring) af moduler: $E$ $Cl(Q)$

E \hookrightarrow Cl(Q)

Kommentar

Hvis der er felter med reelle eller komplekse tal, bruges lineært rum , og det skalære produkt , der er iboende i et sådant rum, som en kvalitet . $K$ $E$ $Q(,)$

Eksempler på reelle og komplekse algebraer

Egenskaber

Hovedidentiteten af Clifford algebraer: hvis karakteristikken af ringen K ikke er lig med to , så for enhver : $x, y \i E$ $xy+yx=2\venstre\langle x,y\right\rangle$

hvor er den symmetriske bilineære form svarende til den kvadratiske form Q :

\venstre\langle ,\højre\rangle

\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)

udtryk kaldes

anticommutator og .

[x,y]:=xy+yx

x

y

For den kvadratiske nulform er algebraen den samme som den ydre algebra af -modulet . $Q$ $Cl(E,Q)$ $\Lambda(E)$ $K$ $E$
Lade være nogle grundlag for -modul , derefter elementer af formen $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $E$ $1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\dots<j_k,$ for alle k fra 1 til n ) eller på anden måde: hvor danner grundlaget for -modulet . Især er et gratis -modul af rang (dimension) $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}$ $\sigma_j = 0,1$ $K$ $Cl(Q)$ $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$
- Hvis derudover er ortogonale med hensyn til , så kan det angives som en -algebra med generatorer og definerende relationer , ( ) og . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $Q$ $Cl(Q)$ $K$ $1,e_1,e_2,\prikker,e_n$ $e_i e_j + e_j e_i = 0$ $i\not=j$ $e_i^2= Q(e_i,e_i)$
Clifford-algebraen har en Z 2 - gradering . Især danner et undermodul i , genereret af produkter af et lige antal elementer fra , en subalgebra i , som er betegnet med . $Cl(Q)$ $E$ $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
Lad være et felt, og den kvadratiske form er ikke- degenereret $K$ $Q(,)$
- så for selv n er algebraen en central simpel algebra over dimension , subalgebraen er adskillelig, og dens centrum har dimension 2 over . $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$ $Cl^+(Q)$ $K$
Hvis er algebraisk lukket , så $K$
- for selv n er en
matrixalgebra , a er et produkt af to matrixalgebraer, $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
for ulige n er tværtimod matrix og er produktet af to matrixalgebraer. $Cl^+(Q)$ $Cl(Q)$

Matrixrepræsentationer af Clifford-algebraer

Dirac-ligningen er et vigtigt eksempel på anvendelsen af CL_3,1(ℝ) repræsentationerne , som først blev studeret af Ettore Majorana .

Litteratur

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spingeometri. – 1989.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebraer og spinorer , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ( arkiveret 4. april 2016 på Wayback Machine )
Ian R. Porteous "Clifford algebras and the classical groups" Cambridge, CUP , 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), " Om generaliserede Clifford-algebraer og deres fysiske anvendelser Arkiveret 29. november 2014 på Wayback Machine "